Question

（2008?江蘇模擬）如圖所示，在傾角為30°的斜面OA的左側有一豎直檔板，其上有一小孔P，OP=0.5m．現有一質量m=4×10^-20kg，帶電量q=+2×10^-14C的粒子，從小孔以速度v₀=3×10⁴m/s水平射向磁感應強度B=0.2T、方向垂直紙面向外的一圓形磁場區域．且在飛出磁場區域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計．求：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑；
（2）粒子在磁場中運動的時間；
（3）圓形磁場區域的最小半徑．
附加題：（4）若磁場區域為正三角形且磁場方向垂直向里，粒子運動過程中始終不碰到擋板，其他條件不變，求：此正三角形磁場區域的最小邊長．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求出粒子在磁場中做圓周運動的半徑，并由圓周運動公式求出周期．
（2）畫出粒子運動的軌跡如圖，由幾何知識得到軌跡對應的圓心角θ，由t=

θ

π

T求出粒子在磁場中運動的時間；
（3）當粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時，圓形磁場區域的半徑最小，則知最小半徑的值．
（4）若磁場區域為正三角形且磁場方向垂直向里，粒子運動過程中始終不碰到擋板，其他條件不變，由幾何關系可求圓周半徑，可求正三角形磁場區域的最小邊長．

解答：解：（1）粒子在磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律得
qvB=m

v2

r

，T=

2πr

v

得：r=

mv

qB

=0.3m
（2）畫出粒子運動的軌跡如圖，由幾何知識得到軌跡對應的圓心角θ=60°，則粒子在磁場中運動的時間為
   t=

θ

2π

T=

1

6

T=

πm

3qB

=

π

3

×10^-5s
（3）當粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時，圓形磁場區域的半徑最小，根據幾何知識得知，PQ=r，則磁場最小的半徑為R_min=

r

2

=0.15m
（4）畫出粒子的運動軌跡如圖，由數學知識可得：L=

2r+rcos30°

cos30°

得：L=

mv

qB

(

4

3

+1)=

4 3 +3

10

=0.99m
答：（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑為0.3m
（2）粒子在磁場中運動的時間

π

3

×10^-5s；
（3）圓形磁場區域的最小半徑0.15m．
（4）此正三角形磁場區域的最小邊長0.99m．

點評：本題中圓形磁場區域最小的直徑等于入射點與出射點間的距離是常用的經驗結論，在本題中要靈活運用．