Question

圖所示，質量為m，電荷量為-q，重力不能忽略的帶電微粒，以初速度v₀從金屬板中央平行于金屬板方向射入，金屬板長為L，間距為d．求：
（1）微粒沿直線運動時的板間電壓；
（2）微粒可以在兩板間穿過時，兩板間電壓的范圍；
（3）若不計微粒的重力，微粒穿過電場時速度的最大值．

Answer 1

（1）微粒沿直線運動，則受力平衡，即mg=q

U

d

故板間電壓U=

mgd

q

（2）微粒可以在兩板間穿過，兩臨界點分別是恰沿上、下極板穿出：水平位移最小為L：
當電場力大于重力時，此時板間電壓設為U₁，加速度a=

q U1 d -mg

m

=

qU1-mgd

md

，微粒恰能沿著上極板穿出，
豎直方向：

d

2

=

1

2

at2=

1

2

qU1-mgd

md

t² ①
水平方向：s=v₀t=L ②
聯立①②得：U₁=

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

當重力大于電場力時，此時板間電壓設為U₂，加速度a=

mgd-qU2

md

，此時微粒恰能沿著下極板穿出
豎直方向：

d

2

=

1

2

at2=

1

2

mgd-qU2

md

t² ③
水平方向：s=v₀t=L ④
聯立③④得：U₂=

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

微粒可以在兩板間穿過時，兩板間電壓的范圍U₂≤U≤U₁
即：

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

≤U≤

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

；
（3）若不計微粒的重力，即微粒只受電場力作用，要求最大速度即微粒剛好穿過兩板時的速度
微粒剛好穿過電場時，水平位移s=v₀t=L ⑤
豎直位移：y=

d

2

=

1

2

at2 ⑥
則：a=

v 20 d

L2

根據F=ma，可得：F=

m v 20 d

L2

根據動能定理可得：F?

d

2

=

1

2

mv2-

1

2

m

v

20

解得：v=v₀

1+ d2 L2

答：（1）微粒沿直線運動時的板間電壓為

mgd

q

；
（2）微粒可以在兩板間穿過時，兩板間電壓的范圍為

mgd

q

-

m v 20 d2

qL2

≤U≤

m v 20 d2

qL2

+

mgd

q

（3）若不計微粒的重力，微粒穿過電場時速度的最大值為v₀

1+ d2 L2

．