Question

【題目】輕質彈簧原長為2L，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為L。現將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5L的水平軌道，B端與半徑為L的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示。物塊P與AB間的動摩擦因數μ=0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度L，然后放開，P開始沿軌道運動。重力加速度大小為g。

（1）若P的質量為m，求P到達B點時速度的大小，以及它從D點離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點間的距離。

（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）； （2）

【解析】（1）依題意，當彈簧豎直放置，長度被壓縮至l時，質量為5m的物體的動能為零，其重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。由機械能守恒定律可知，彈簧長度為l時的彈性勢能為①

設P到達B點時的速度大小為，由能量守恒定律得②

聯立①②式，取并代入題給數據得③

若P能沿圓軌道運動到D點，其到達D點時的向心力不能小于重力，即P此時的速度大小v應滿足

設P滑到D點時的速度為vD。由機械能守恒定律得⑤

聯立③⑤可得

滿足④式要求，故P能運動到D點，并從D點以速度水平射出。設P落回到軌道AB所需的時間為t，由運動學公式得⑦

P落回到AB上的位置與B點之間的距離為⑧

聯立⑥⑦⑧式得⑨

（2）為使P能滑上圓軌道，它到達B點時的速度不能小于零。由①②式可知⑩

要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道上的上升高度不能超過半圓軌道的中點C。由機械能守恒定律有

聯立①②⑩式得