Question

渦流制動是一種利用電磁感應原理工作的新型制動方式，它的基本原理如圖甲所示．水平面上固定一塊鋁板，當一豎直方向的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經過時，鋁板內感應出的渦流會對磁鐵的運動產生阻礙作用．渦流制動是磁懸浮列車在高速運行時進行制動的一種方式．某研究所制成如圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動過程．車廂下端安裝有電磁鐵系統，能在長為L₁=0.6m，寬L₂=0.2m的矩形區域內產生豎直方向的勻強磁場，磁感應強度可隨車速的減小而自動增大（由車內速度傳感器控制），但最大不超過B₁=2T，將鋁板簡化為長大于L₁，寬也為L₂的單匝矩形線圈，間隔鋪設在軌道正中央，其間隔也為L₂，每個線圈的電阻為R₁=0.1Ω，導線粗細忽略不計．在某次實驗中，模型車速度為v=20m/s時，啟動電磁鐵系統開始制動，車立即以加速度a₁=2m/s²做勻減速直線運動，當磁感應強度增加到B₁時就保持不變，直到模型車停止運動．已知模型車的總質量為m₁=36kg，空氣阻力不計．不考慮磁感應強度的變化引起的電磁感應現象以及線圈激發的磁場對電磁鐵產生磁場的影響．

（1）電磁鐵的磁感應強度達到最大時，模型車的速度為多大？
（2）模型車的制動距離為多大？
（3）為了節約能源，將電磁鐵換成若干個并在一起的永磁鐵組，兩個相鄰的磁鐵磁極的極性相反，且將線圈改為連續鋪放，如圖丙所示，已知模型車質量減為m₂=20kg，永磁鐵激發的磁感應強度恒為B₂=0.1T，每個線圈匝數為N=10，電阻為R₂=1Ω，相鄰線圈緊密接觸但彼此絕緣．模型車仍以v=20m/s的初速度開始減速，為保證制動距離不大于80m，至少安裝幾個永磁鐵？

Answer 1

【答案】分析：當磁場在固定的線圈上方運動時，線圈中產生感應電流，出現的感應磁場阻礙磁場的運動．當磁場達到最強時，且處于恒定，則由運動學公式求出加速度，再由牛頓第二定律可得出安培力，從而求出線圈產生的感應電動勢，最后確定線圈運動的速度；在制動過程中，線圈的加速度不是恒定，則可用動能定理求出制動距離．
解答：解：（1）假設電磁鐵的磁感應強度達到最大時，模型車的速度為v₁則E₁=B₁L₁v₁①
     ②
     F₁=B₁I₁L₁③
     F₁=m₁a₁④
由①②③④式并代入數據得v₁=5m/s⑤
（2）⑥
由第（1）問的方法同理得到磁感應強度達到最大以后任意速度v時，安培力的大小為⑦
對速度v₁后模型車的減速過程用動量定理得
⑧
⑨
x=x₁+x₂⑩
由⑥⑦⑧⑨⑩并代入數據得x=106.25m（11）
（3）假設需要n個永磁鐵
當模型車的速度為v時，每個線圈中產生的感應電動勢為E₂=2NB₂L₁v（12）
每個線圈中的感應電流為每個磁鐵受到的阻力為F₂=2NB₂I₂L₁（13）
n個磁鐵受到的阻力為F_合=2nNB₂I₂L₁（14）
由第（2）問同理可得（15）
由（11）（15）并代入已知得n=3.47
即至少需要4個永磁鐵．
點評：本題物理情境很新，但仍是常規物理模型，類似于磁場不動線圈在動的題型．在模型車的減速過程中，加速度不恒定，則用動能定理來解決．