Question

如圖，長木板ab的b端固定一檔板，木板連同擋板的質量為M=4.0kg，a到擋板的距離s=2.0m．木板位于光滑水平面上．在木板a端有一小物塊，其質量m=1.0kg，小物塊與木板間的動摩擦因數μ=0.10，它們都處于靜止狀態．現令小物塊以初速v₀=4.0m/s，沿木板向前滑動，直到和檔板相撞．g=10m/s²
（1）碰撞后，若小物塊恰好回到a端而不脫離木板．求碰撞過程中損失的機械能．
（2）若s=1.5m，碰撞過程中損失的機械能為3.0J，求長木板的最終速度大小？

Answer 1

分析：（1）木板和小物塊組成的系統所受合外力為零，在整個過程中，系統動量動量守恒，由動量守恒定律可求得最后共同的速度；由能量守恒定律可以求出損失的機械能，機械能的損失來自于碰撞與摩擦力做功，則求出摩擦力所做的功即可求得碰撞中損失的機械能．
（2）物塊與擋板碰撞過程中要損失機械能，物塊與木板間相對滑動克服摩擦力做功轉化為系統內能機械能有損失，由能量守恒定律可以求出系統損失的機械能；物塊與木板組成的系統在整個過程中所受合外力為零，系統動量守恒，由動量守恒定律可以求出木板的最終速度．

解答：解：（1）設木板和物塊最后共同運動的速度為v，設全過程損失的機械能為E，
由動量守恒定律mv₀=（m+M）v…①
由能量守恒定律得：E=

1

2

mv₀²-

1

2

（m+M）v²…②，
用W表示在全過程中摩擦力做的總功，則W=-2μmgs…③
用E₁表示在碰撞過程中損失的機械能，則E₁=E-W…④
由以上各式解得：E=

mM

2(m+M)

v₀²-2μmgs…⑤
代入數據解锝：E₁=2.4J；
（2）小物塊恰好回到a端而不脫離木板，
則克服摩擦力做功轉化為系統內能而損失的機械能：
Q=2μmgs′=2×0.1×1×10×1.5=3J，
則系統損失的總機械能E_總=Q+E_碰撞=3+3=6J，
系統最終的總機械能：E_K=

1

2

mv₀²-E_總=

1

2

×1×4²-6=2J，
系統最終的總機械能：E_K=

1

2

mv_物塊²+

1

2

Mv_木板²
=

1

2

×1×v_物塊²+

1

2

×4×v_木板²=2，
即：v_物塊²+4v_木板²=4…⑥
物塊與木板組成的系統動量守恒，
由動量守恒定律得：mv₀=mv_物塊+Mv_木板，
即：1×4=1×v_物塊+4×v_木板，4=v_物塊+4v_木板 …⑦
由⑥⑦解得：v_木板=1m/s；
答：（1）碰撞過程中損失的機械能為2.4J．
（2）長木板的最終速度為1m/s．

點評：本題考查動量守恒及功能關系，應明確機械能的損失有兩部分，一部分來自于碰撞，另一部分來自于摩擦力做功，而本題只求碰撞所損失的機械能．