Question

如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；在x軸下方有平行于x軸，方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．一質(zhì)量為m，電量為e的質(zhì)子從y軸上的M點(diǎn)以v₀的速度平行x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，通過磁場(chǎng)后垂直于x軸進(jìn)入電場(chǎng)，從y軸的P點(diǎn)離開電場(chǎng)．（質(zhì)子重力不計(jì)）求：
（1）M點(diǎn)與O點(diǎn)的距離；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間；
（3）粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小．

Answer 1

分析：（1）由題可知，質(zhì)子在第一象限中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過

1

4

圓周，OM等于軌跡半徑，由牛頓第二定律求出；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)四分之一周期．在電場(chǎng)中，質(zhì)子做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移大小為等于磁場(chǎng)中軌跡半徑，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求出總時(shí)間；
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求出質(zhì)子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，即可知道粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)OM=L，則粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=L
又：ev₀B=m

v 2 0

r

解得：L=

mv0

eB

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，從圖中可知粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周，
則t₁=

1

4

?

2πr

v0

=

πr

2v0

粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
則L=

1

2

a

t

2 2

而a=

eE

m

總時(shí)間為 t=t₁+t₂
解得：t=

πm

2eB

+

m

eEB

2v0EB

（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有電場(chǎng)力做功，
則有EeL=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：v=

v 2 0 + 2Ev0 B

答：（1）M點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是

mv0

eB

；
（2）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間是

πm

2eB

+

m

eEB

2v0EB

；
（3）粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度大小是

v 2 0 + 2Ev0 B

．

點(diǎn)評(píng)：本題中運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類平拋運(yùn)動(dòng)，畫軌跡研究粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，是常用的方法．