Question

如圖甲所示，兩光滑的平行導軌MON與PO′Q，其中ON、O′Q部分是水平的，傾斜部分與水平部分用光滑圓弧連接，Q、Ⅳ兩點間接有電阻尺，導軌間距為L．水平導軌處有兩個勻強磁場區域Ⅰ、Ⅱ（分別是cdef和ghjk），磁場方向垂直于導軌平面豎直向上，Ⅱ區是磁感應強度為B₀的恒定磁場區，Ⅰ區磁場的寬度為x₀，磁感應強度隨時間變化．一質量為m、電阻為R的導體棒垂直于導軌放置在Ⅰ區磁場中央位置，t=0時刻Ⅰ區磁場的磁感應強度大小從B₁開始均勻減小至零，如圖乙所示，導體棒在安培力的作用下運動的v-t圖象如圖丙所示．求：
（1）t=0時刻，導體棒運動的加速度a；
（2）導體棒穿過Ⅰ區磁場邊界過程中安培力所做的功；
（3）Ⅱ區磁場的寬度x₁．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律求解出感應電動勢；根據歐姆定律求解出電流；計算出安培力后根據牛頓第二定律求解出加速度；
（2）根據動能定理列式求解安培力的功，根據動生電動勢和感生電動勢合成得到電動勢，求出電流和電功率；
（3）結合圖象并運用微元法，得到Ⅱ區寬度，然后根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式、切割式等列式分析計算．

解答：解：（1）t=0時刻，感應電動勢 E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=

B1

t0

?

Lx0

2

，
感應電流 I=

E

2R

導體棒受到向左的安培力，大小為F=B₁IL=

B 2 1 L2x0

4Rt0

 
導體棒有向左的加速度，大小為 a=

F

m

=

B 2 1 L2x0

4mRt0

（2）由丙圖知：

1

2

t₀時刻導體棒穿出磁場速度為v₀，由動能定理得：安培力的功為W=

1

2

m

v

2 0

．
（3）磁場Ⅱ區寬度為x₁，棒在Ⅱ區任一時刻速度為v，E=BLv，I=

B0Lv

2R

棒受到向右安培力 F=B₀IL=

B 2 0 L2v

2R

加速度大小a=

B 2 0 L2v

2mR

由加速度定義得：a=-

△v

△t

得
△v=-a△t=-

B 2 0 L2v

2mR

△t
穿過磁場Ⅱ區全程
∑△v=-

B 2 0 L2

2mR

v△t=-

B 2 0 L2

2mR

△x₁
因∑△v=

1

2

v0-v₀，△x₁=x₁
所以得x₁=

mRv0

B 2 0 L2

答：
（1）t=0時刻，導體棒運動的加速度a是

B 2 1 L2x0

4mRt0

；
（2）導體棒穿過Ⅰ區磁場邊界過程中安培力所做的功是

1

2

m

v

2 0

；
（3）Ⅱ區磁場的寬度x₁是

mRv0

B 2 0 L2

．

點評：此題關鍵結合圖象得到導體棒的運動規律；第三題要結合微元法求解，切入點是加速度的定義式．