Question

一宇航員到達半徑為R，密度均勻的某星球表面，做如下實驗，用不可伸長的輕繩拴一質量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直平面內做圓周運動，測得繩的拉力大小隨時間t的變化規律如圖乙所示，F₁=7F₂，設R、m、引力常量G、F₁、F₂均為己知量，忽略各種阻力，以下說法正確的是（　　）

• A．小球在最高點的最小速度為零
• B．衛星繞該星的最小運行速度為

  Gm R

• C．該星球表面的重力加速度為

  F1

  7m

• D．星球的質量為

  F2R2

  7Gm

Answer 1

分析：抓住圓周運動的臨界情況，確定小球在最高達的最小速度．根據牛頓第二定律，結合機械能守恒定律求出星球表面的重力加速度，再根據萬有引力等于重力求出星球的質量．

解答：解：A、小球在最高點的最小速度不能為零，臨界情況是拉力為零，重力提供向心力．故A錯誤．
B、根據萬有引力提供向心力得：G

Mm

r2

=m

v2

r

，v=

GM r

，速度的大小與m無關．故B錯誤．
C、設砝碼在最低點時細線的拉力為F₁，速度為v₁，則
F₁-mg=m

v12

r

設砝碼在最高點細線的拉力為F₂，速度為v₂，則
F₂+mg=m

v22

r

由機械能守恒定律得 mg2r+

1

2

mv22=

1

2

mv12
聯立解得g=

F1-F2

6m

F₁=7F₂，
所以該星球表面的重力加速度為

F1

7m

．故C正確．
D、星球表面的重力加速度為

F1

7m

．根據GM=gR²，則M=

gR2

G

=

F1R2

7Gm

．故D錯誤．
故選C．

點評：本題考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力兩個理論，并與圓周運動結合，綜合運用了牛頓第二定律和機械能守恒定律，對學生的能力要求較高，是道好題．