Question

質量為M的特殊平板在光滑的水平面上以速度υ₀=4m/s向右勻速運動，在平板上方存在厚度d=2cm的“相互作用區域”（如圖中虛線部分所示），“相互作用區域”上方高h=20cm處有一質量為m的靜止物塊P．平板的右端A經過物塊P的正下方時，P同時無初速度釋放．當物塊P以速度υ₁進入相互作用區時，平板對P立即產生一個豎直向上的恒力F；當P與平板接觸時F方向立即變為豎直向下而大小保持不變．已知M=3m，F=kmg，k=11，物塊與平板間的動摩擦因數為μ=

1

12

，取重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．試求：
（1）物塊P下落至與平板剛接觸時的速度υ₂多大？
（2）物塊P釋放后經多長時間t與平板接觸？
（3）欲使物塊P不致于落到光滑的水平面上，平板L至少為多長？

Answer 1

分析：（1）P先做自由落體，進入相互作用區后做勻減速直線運動，由牛頓第二定律可求得加速度，由自由落體規律及速度和位移關系可求得P與平板接觸時的速度；
（2）下落總時間包括自由落體時間及減速運動的時間，由運動學公式可求得各自的時間，即可求得總時間；
（3）P與平板系統動量守恒并且能量守恒，則由動量守恒及能量守恒可得出相應表達式，聯立可解出板長L．

解答：解：
（1）P先做自由落體運動，然后進入相互作用區做勻減速運動
υ₁²=2gh                                ①
υ₂²-υ₁²=2ad                            ②
a=

-(kmg-mg)

m

                    ③
由①②③解得       υ₂=0                  ④
（2）P先做自由落體運動過程，有 h=

v1+0

2

t₁           ⑤
進入相互作用區做勻減速運動過程，有 d=

0+v1

2

t₂      ⑥
υ₁=

2gh

=2m/s             ⑦
由式⑤、⑥、⑦解得           t₁=0.2s     t₂=0.02s            ⑧
所以P釋放后到與平板接觸經歷的時間為
t=t₁+t₂=0.2s+0.02s=0.22s               ⑨
（3）從P釋放后到剛與平板接觸的 t 時間內，平板位移了
L₁=υ₀t=4×0.22m=0.88m                 ⑩
P與平板接觸后，在水平方向上，P與平板組成的系統滿足動量守恒
   （m+3m）v=3mv₀ （11）
υ為P與平板相對靜止時的共同速度．這一過程根據系統能量守恒，有
    μ（ kmg+ mg ） L₂ =

1

2

?3m?υ₀² -

1

2

?4m?υ²                    （12）
由（11）（12）解得 L²=

3v 2 0

8μ(k+1)g

=0.6m                           （13）
所以物塊P不致于落到光滑的水平面上，平板的長度至少為
L=L₁+L₂=0.88m+0.6m=1.48m           （14）
答：（1）物塊P下落至與平板剛接觸時的速度υ₂為0；
（2）P釋放后到與平板接觸經歷的時間為0.22s；
（3）平板至少為0.6m．

點評：本題考查了動量守恒、能量守恒以及牛頓運動定律及自由落體等物理規律，要求學生能正確分析物理過程，選擇合適的物理規律進行解題．