Question

如圖所示，有一個可視為質點的質量為m=1kg的小物塊，從光滑平臺上的A點以v₀=2m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M=3kg的長木板．已知木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.4m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=60°，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球到達C點時的速度
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少多大？

Answer 1

分析：（1）小物塊從A到C做平拋運動，根據平拋運動的基本公式求解小球到達C點時的速度．
（2）小物塊由C到D的過程中，運用動能定理可求得物塊經過D點時的速度．到達圓弧軌道末端D點時，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律列式，求出軌道對物塊的支持力，再由牛頓第三定律求出物塊對軌道的壓力．
（3）物塊滑上長木板后做勻減速運動，長木板做勻加速運動，小物塊恰好不滑出長木板時，物塊滑到長木板的最右端，兩者速度相等，根據動量守恒或牛頓運動定律、運動學公式結合和能量守恒求出此時木板的長度，即可得到木板的長度最小值．

解答：解：（1）小物塊在C點時的速度大小為 v_C=

v0

cos60°

=

2

0.5

=4m/s
（2）小物塊由C到D的過程中，由動能定理得：mgR（1-cos60°）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

代入數據解得：v_D=2

5

m/s，
小球在D點時由牛頓第二定律得：
  F_N-mg=m

mv 2 D

R

，
代入數據解得：F_N=60N
由牛頓第三定律得 F_N′=F_N=60N，方向豎直向下．
（3）設小物塊剛滑到木板左端到達到共同速度，大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為：
  a₁=

μmg

m

=μg=3m/s²，
  a₂=

μmg

M

=1m/s²  
速度分別為：v=v_D-a₁t，v=a₂t
對物塊和木板系統，由能量守恒定律得：
 μmgL=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

（m+M）v²
解得：L=2.5 m，即木板的長度至少是2.5 m．
答：
（1）小球到達C點時的速度為4m/s．
（2）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為60N；
（3）要使小物塊不滑出長木板，木板的長度L至少為2.5m．

點評：此題主要考查了平拋運動基本規律、牛頓運動定律及動能定理、能量守恒定律的直接應用，是常見的題型．