Question

如圖所示，光滑的水平面AB（足夠長）與半徑為R=0.8m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點相切，D點為半圓軌道最高點．A點的右側等高地放置著一個長為L=20m、逆時針轉動速度為v₀=10m/s的傳送帶．用輕質細線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質彈簧，彈簧與甲乙兩物體不栓接．甲的質量為m₁=3kg，乙的質量為m₂=1kg，甲、乙均靜止在光滑的水平面上．現固定乙球，燒斷細線，甲離開彈簧后進入半圓軌道并可以通過D點，且過D點時對軌道的壓力恰好等于甲的重力．傳送帶與乙物體間摩擦因數為0.6，重力加速度g取l0m/s²，甲、乙兩物體可看作質點．
（1）求甲球離開彈簧時的速度．
（2）若甲固定，乙不固定，細線燒斷后乙可以離開彈簧后滑上傳送帶，求乙在傳送帶上滑行的最遠距離．
（3）甲乙均不固定，燒斷細線以后，求甲和乙能否再次在AB面上水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞時甲乙的速度；若不會碰撞，說明原因．

Answer 1

分析：1、甲離開彈簧以后運動到最高點，機械能守恒，過D點時對軌道的壓力恰好等于甲的重力，根據牛頓第二定律列出等式求解
2、根據能量守恒求出乙離開彈簧的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式求解
3、甲乙分離根據動量守恒和能量守恒列出等式求出分離時的速度，再根據牛頓第二定律和運動學公式求解．

解答：解：（1）甲離開彈簧以后，機械能守恒：

1

2

m₁

v

2 0

=m₁g?2R+

1

2

m₁

v

2 D

過D點時對軌道的壓力恰好等于甲的重力，根據牛頓第二定律得：
2m₁g=

m1v 2 D

R

解得：v₀=4

3

m/s
（2）根據能量守恒得：
E_p=

1

2

m₁

v

2 0

=

1

2

m₂

v

2   乙

得：v_乙=12m/s
之后乙滑上傳送帶勻減速運動，根據牛頓第二定律得：
μmg=ma
得：a=6m/s²
速度為零時離A端最遠，最遠距離為：
x=

v 2 乙

2a

=12m＜20m
即乙在傳送帶上滑行的最遠距離為12m．
（3）甲乙分離分離過程中，動量守恒，選v₁的方向為正，根據動量守恒得：
m₁v₁=m₂v₂
甲乙彈簧系統能量守恒：
E_p=

1

2

m₁

v

2 0

=

1

2

m₁

v

2 1

+

1

2

m₂

v

2 2

解得：

v

1

=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
之后甲沿軌道上滑，設上滑最高點高度為h，
則

1

2

m1

v

2 1

=m1gh
得h=0.6m＜0.8m
則甲上滑不到等圓心位置就會返回，返回AB面上速度仍然是v1=2

3

m/s
乙滑上傳送帶，因v2=6

3

m/s＜12m/s，
則乙先向右做勻減速運動，后向左勻加速．
由對稱性可知返回AB面上速度仍然為v2=6

3

m/s
所以甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞時甲乙的速度大小分別是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
答：（1）甲球離開彈簧時的速度大小是4

3

m/s．
（2）若甲固定，乙不固定，細線燒斷后乙可以離開彈簧后滑上傳送帶，乙在傳送帶上滑行的最遠距離是12m．
（3）甲乙均不固定，燒斷細線以后，甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞時甲乙的速度大小分別是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s

點評：本題考查了與彈簧有關的動量、能量問題，有一定綜合性，關鍵要清楚研究對象的運動情況，能選擇不同的研究過程運用物理規律求解．