Question

【題目】如圖所示，兩根固定的光滑的金屬導軌水平部分與傾斜部分平滑連接，兩導軌間距為L=0.5m，導軌的傾斜部分與水平面成α=37°角。導軌的傾斜部分有一個勻強磁場區域abcd，磁場方向垂直于斜面向上，導軌的水平部分在距離斜面底端足夠遠處有兩個勻強磁場區域，磁場方向豎直且相反，所有磁場的磁感應強度大小均為B=1T，每個磁場區沿導軌的長度均為L=0.5m，磁場左、右兩側邊界均與導軌垂直。現有一質量為m=0.5kg，電阻為r=0.2Ω，邊長也為L的正方形金屬線框PQMN，從傾斜導軌上由靜止釋放，金屬線框在MN邊剛滑進磁場abcd時恰好做勻速直線運動，此后，金屬線框從導軌的傾斜部分滑上水平部分。取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

(1)金屬線框剛釋放時MN邊與ab的距離s；

(2)可調節cd邊界到水平導軌的高度，使得線框剛進入水平磁場區時速度大小為8m/s，求線框在穿越水平磁場區域過程中的加速度的最大值；

(3)若導軌的水平部分有多個連續的長度均為L磁場，且相鄰磁場方向相反，求在(2)的條件下，線框在水平導軌上從進入磁場到停止的位移和在兩導軌上運動過程中線框內產生的焦耳熱。

Answer 1

【答案】(1) 0.48m；(2)a=67.5m/s2；(3)Q=19J；

【解析】(1)設金屬線框剛進入磁場區域abcd的速度為v1，則線框中產生的感應電動勢：

根據歐姆定律：

安培力：

依題意，有：

線框下滑距離s的過程中，根據機械能守恒定律，有：

聯立以上各式解得：；

(2)設金屬線框MN邊剛進入水平導軌上第一個磁場區時速度為，MN邊即將進入第二個磁場區時速度為，線框從剛進入第一個磁場區到剛要進入第二個磁場區的過程中，根據動量定理，有：，即

又：

得：

此時：，，，

得加速度最大值：；

(3)MN邊剛進入第二個磁場區時速度為，此后在安培力作用下減速到0，

且安培力表達式為：，

設該過程位移為x，由動量定理有：

即：

得：

故位移為：

根據能量守恒定律，金屬線框內產生的焦耳熱為：

代入數據可以得到：。