Question

如圖3-4-5所示，坐標系xOy所在的豎直面內，有垂直平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在x＜0的空間內，還有沿x軸負方向的勻強電場，場強為E.一個帶正電的油滴經圖中x軸上的M點沿著與水平方向成α=30°的方向斜向下做直線運動，直到進入x＞0的區域.要使油滴在x＞0的區域在豎直面內做勻速圓周運動，并通過x軸上的N點，且，則

圖3-4-5

（1）帶電粒子運動的速率為多少？

（2）在x＞0的區域需加何種電場？

（3）粒子從M點到N點所用的時間為多少？

Answer 1

解析：油滴在x＜0的區域內運動時受恒定的電場力和恒定的重力及洛倫茲力作用.由于電場力和重力兩力的合力恒定，其在垂直于油滴速度方向的分力亦恒定，而洛倫茲力始終和速度方向垂直，因此欲使油滴做直線運動，其在速度的垂直方向上所受合外力應為零，可見油滴所受洛倫茲力應為恒力.所以，油滴在x＜0區域內的直線運動應為勻速運動.利用共點力平衡條件可求出油滴所受的洛倫茲力，繼而可求出其運動速率.

    油滴在x＞0的區域做勻速圓周運動，由做勻速圓周運動的條件——合外力大小恒定且始終和速度方向垂直知，只有除洛倫茲力以外的其他恒力——重力和電場力的合力為零，由此可斷定x＞0區域內電場方向應豎直向上，且應滿足qE=mg，從而可求出E=mg/q.至于所求時間，應分段予以計算，先由幾何關系求出半徑和的關系，可求出油滴在x＜0區域內的運動時間t₁，再根據幾何關系求出油滴在x＞0區域內所做勻速圓周運動對應的圓心角，利用周期和油滴在x＞0區域內做圓周運動時間的關系可求其運動時間t₂,t₁、t₂相加即為所求時間.

(1)帶電油滴在x＜0的區域內受重力mg、電場力F₁=Eq和洛倫茲力F₂的作用，因油滴沿直線運動，故洛倫茲力F₂的方向不變.因重力mg、電場力F₁是恒定的，則F₂一定恒定，因此油滴速度不變，其受力如圖3-4-6所示.油滴帶正電，由平衡條件知

圖3-4-6

mg=Eq·cotα                                                                ①

Bqv=Eq/sinα                                                                ②

解得v=.

(2)帶電油滴進入x＞0的區域后做勻速圓周運動，除受重力mg和洛倫茲力F₂外，一定要受電場力F₁′的作用，且F₁′=E₁q=mg                                              ③

由①③得E₁=Ecotα=3E，此為x＞0區域內電場強度的大小，因粒子帶正電，E₁的方向應豎直向上.

(3)油滴在復合場中的運動軌跡如圖3-4-7所示，過P作PO′⊥MP，則圓心必在PO′上.因∠PNO₁=∠O₁PN(O₁為PO′與x軸的交點）,則O₁即為圓心位置.設半徑為R，有2×Rcos30°=

圖3-4-7

又Bqv=m   .設從M→P的時間為t₁則t₁=,設從P→N的時間為t₂,則由幾何知識知油滴在x＞0區域內由P到N所做圓周運動對應的圓心角∠PO₁N=120°,所以對應的時間t₂=T=,因此油滴從M→N運動的總時間t=t₁+t₂=.又由①知,所以t=.

答案：(1)   (2)豎直向上電場       (3)