Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠小 于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法正確的是（　　）

• A．當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B．當v=

  5gR

  時，小球b在軌道最高點對軌道有壓力
• C．速度v至少為

  5gR

  ，才能使兩球在管內做圓周運動
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；而當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，及最低點時所需要的向心力，即可求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答：解：A、b在最高點無壓力時，向心力F₁=mg；a在最低點時，向心力F₂=m

v2

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故A錯誤；
B、當小球對軌道無壓力時，則有：mg=m

v12

R

，解得：v₁=

gR

；即當速度為

gR

時，小球在軌道最高點對軌道無壓力；
由機械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求出小球在最低點時的速度v₂=

5gR

，當速度為

5gR

時，小球在最高點對軌道無壓力；故B正確；
C、因小球在管內轉動，則內管可對小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；
故小球的最高點的速度只要大于等于零，小球即可通過最高點，結合B項分析可知C錯誤；
D、在最高點時，T₁+mg=m

v12

R

最低點時，T₂-mg=m

v22

R

T₂-T₁=2mg+m（

v22

R

-

v12

R

）
由機械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
要使小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg，則要m（

v22

R

-

v12

R

）=4mg，由A分析可知當b在最高點無壓力時，m（

v22

R

-

v12

R

）=4mg，再根據B項分析可知，當速度為

5gR

時，小球在最高點對軌道無壓力，則當v≥

5gR

，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg，故D正確．
故選BD

點評：小球在豎直面內的圓周運動，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．