Question

（2012?上海模擬）在一次國際城市運動會中，要求運動員從高為H=4m的平臺上A點由靜止出發，沿著動摩擦因數為μ=0.2的滑道向下運動到B點后水平滑出，最后落在水池中．滑道的水平距離L大小不變，設滑道的水平距離為L=5m，B點的高度h可由運動員自由調節，A點不動，AB長度可以調整．（取g=10m/s²） 求：
（1）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大？平拋過程的最大水平距離S_max為多少？
（2）為了研究物體從B點沿光滑拋物線軌道頂端無初速下滑的運動，制做一個與第（1）中運動員平拋軌跡完全相同的光滑軌道，并將該軌道固定在與BC曲線重合的位置，讓另一物體P沿該軌道無初速下滑（下滑過程中始終不會脫離軌道），則物體P通過軌道最低點C時的水平分速度和豎直分速度大小．

Answer 1

分析：（1）運動員在滑道上有重力和摩擦力做功，由動能定理可求得運動員到達B點的速度；離開滑道后，運動員做平拋運動，由平拋運動的規律求出水平距離與初速度的關系，聯立得出水平距離與h的關系式，運用數學知識求得出最大水平距離及B的高度．
（2）對于物體離開B點做平拋運動的過程，由運動學公式求得在C點水平速度和豎直速度的方向與實際速度方向夾角．物體P從B到C的過程中滿足機械能守恒定律，根據題意，軌跡相同，在任意點它們的速度方向相同，根據機械能守恒列式，即可求解．

解答：解：（1）設斜面長度為L₁，斜面傾角為α，由A運動到B過程，根據動能定理得：
   mg(H-h)-μmg?L1cosα=

1

2

m

v

2 0

-0
解得v0=

2g(H-h-μL)

平拋運動過程：s=v₀t，
              h=

1

2

gt2
解得　s=2

(H-μL-h)h

=2

-h2+(H-μL)h

當h=-

H-μL

2×(-1)

=

1

2

(H-μL)=1.5m時，s有最大值，S_max=3m．
（2）對BC運動軌跡：y=

1

2

gt²，t=

0.3

s，
所以落到C點時的豎直分速度大小是v_y=

30

m/s．
又因水平分速度大小為v_B=v₀=

30

m/s，所以物體在C點水平速度和豎直速度的方向與實際速度方向夾角都是45° 角．    
物體P從B到C的過程中滿足機械能守恒定律，mgh=

1

2

mv_c²，得v_c=

30

m/s，
因軌跡相同，所以在任意點它們的速度方向相同，所以到C點后水平分速度和豎直分速度的大小是
v_x=v_y=

2

2

vc=

15

m/s
答：
（1）運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為1.5m，平拋過程的最大水平距離S_max為3m．
（2）物體P通過軌道最低點C時的水平分速度和豎直分速度大小都是

15

m/s．

點評：物體在恒力作用下可由動能定理求解，難點在于數學知識的應用，平時學習中要注意數學知識的積累和解題能力的培養．