Question

（2011?東城區模擬）在游樂節目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛躍到水面的平臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質量為m=60㎏的質點，選手抓住繩子由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩子的懸掛點O距水面的高度為H=3m，不考慮空氣阻力和繩子的質量，平臺露出水面的高度不計，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）選手擺到最低點時對繩子拉力的大小
（2）繩子長L=2m，選手擺到最高點松手落入水中．設水對選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d．
（3）若選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在平臺上的落點距岸邊越遠；小陽卻認為繩越短，落點距岸邊越遠．請通過推算說明你的觀點．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出選手擺到最低點時的速度，根據牛頓第二定律求出繩子拉力的大小．
（2）選手擺到最高點，速度為零，松手向下先做自由落體運動，進入水中做減速運動，根據動能定理求出選手落入水中的深度d．
（3）選手擺到最低點時松手，做平拋運動，繩子越長，到達最短點的速度越大，但是平拋運動的高度減小，運動時間減少．根據數學求極值的方法求出最大的水平位移，從而得知繩子多長時，落點距岸邊最遠．

解答：解：（1）機械能守恒mgL（1-cosa）=

mv2

2

圓周運動 F-mg=

mv2

L

F=（3-2cosa）mg=1080N
根據牛頓第三定律得，F′=F=1080N
（2）根據動能定理得，
mg（H-Lcosa+d）-（f₁+f₂）d=0
d=

mg(H-Lcosa)

f1+f2-mg

=1.2m
（3）選手從最低點作平拋運動x=vt 
 H-L=

gt2

2

  
mgL（1-cosa）=

mv2

2

解得X=2

l(H-l)(1-cosa)

當l=

H

2

時X有最大值，L=1.5m時落點距岸邊最遠，兩人看法都不對．
答：（1）選手擺到最低點時對繩子拉力的大小為1080N．
（2）選手落入水中的深度d為1.2m．
（3）兩人的觀點都錯誤，當L=1.5m時落點距岸邊最遠．

點評：本題綜合運用了動能定理，機械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，但是難度不是太大．