Question

（2009?廣東模擬）如圖所示，在水平面上有兩條光滑的長直平行金屬導軌MN、PQ，導軌間距離為L，導軌的電阻忽略不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌所在平面．質量分別為m_a、m_b的兩根金屬桿a、b跨擱在導軌上，接入電路的電阻均為R．輕質彈簧的左端與b桿連接，右端被固定．開始時a桿以初速度v₀向靜止的b桿運動，當a桿向右的速度為v時，b桿向右的速度達到最大值v_m，此過程中a桿產生的焦耳熱為Q，兩桿始終垂直于導軌并與導軌良好接觸．求當b桿達到最 大速度v_m時，
（1）b桿受到彈簧的彈力
（2）彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）b桿達到最大速度時，彈簧的彈力等于安培力，根據安培力大小公式與閉合電路歐姆定律及法拉第電磁感應定律，推導出安培力表達式F_A=

B2L2(v-vm)

2R

即可求解．
（2）選取系統為研究對象，確定從開始到b桿最大速度作為過程，由動能定理，結合產生焦耳熱即為安培力做功的值，來確定彈簧的彈性勢能．

解答：解：（1）設某時刻a、b桿速度分別為v和v_m，由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢E=BL（v-v_m）
回路中的電流    I=

E

2R

     
B桿受到的安培力F_b=BIL
當b桿的速度達到最大值v_m時，b桿的加速度為0，設此時b桿受到的彈簧彈力為T，由牛頓第二定律得   T=F_b
聯立以上各式解得    T=

B2L2(v-vm)

2R

（2）以a、b桿和彈簧為研究對象，設彈簧彈性勢能為E_p，由能量轉化與守恒定律
 

1

2

ma

v

2 0

=

1

2

mav2+

1

2

mb

v

2 m

+2Q+E_p
故  E_p=

1

2

ma

v

2 0

-

1

2

mav2-

1

2

mb

v

2 m

-2Q
答：
（1）b桿受到彈簧的彈力是

B2L2(v-vm)

2R

．
（2）彈簧具有的彈性勢能為

1

2

ma

v

2 0

-

1

2

mav2-

1

2

mb

v

2 m

-2Q．

點評：由于兩桿同時同向運動，所以切割的速度即為相對速度．同時考查閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應定律、動能定理及安培力大小公式，并注意安培力做功與產生焦耳熱的關系，及彈力做功與彈簧的彈性勢能的關系．