Question

如圖所示，長為l的直管與水平地面成30°角固定放置，上端管口水平，質量為m的小球可在直管內自由滑動，用一根輕質光滑細線將小球與另一質量為M的物塊相連，M=km．開始時小球固定于管底，物塊懸掛于管口，小球、物塊均可視為質點．現將小球釋放，請回答下列問題：
（1）若m能沿直管向上運動，求k的范圍；
（2）若m能飛出管口，求k的范圍；
（3）有同學認為，k越大，m離開管口后，水平方向運動的位移就越大，且最大值為繩長l，請通過計算判斷這種說法是否正確．（sin30°=0.5）

Answer 1

分析：（1）若m能沿直管向上運動，說明繩子拉力大于小球重力在斜面方向的分力；
（2）若m能飛出管口，m獲得的動能大于克服重力做的功；
（3）m離開管口做平拋運動，由平拋運動規律求解水平位移的表達式．

解答：解：（1）若m能沿直管向上運動，由Mg＞mgsin30°，得k＞0.5；
（2）若m能飛出管口，m獲得的動能大于克服重力做的功
設落地前的瞬間M的速度大小為v₁，根據動能定理有
由

1

2

（m+M） v₁²-0=Mgl sin30°-mgsin30°l sin30°，可解得：v₁²=

2k-1

2k+2

gl
由

1

2

mv₁²＞mgsin30°（l-l sin30°），可解得k＞2；
（3）設m飛出管口時的速度為v₂
由

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²=-mgsin30°（l-l sin30°），可解得：v₂²=

k-2

2k+2

gl
m在空中飛行的時間t=

2h g

=

2lsin30° g

=

l g

水平位移x=v₂ t=

k-2 2k+2 gl

?

l g

=

2

2

k-2 k+1

l
x=

2

2

k-2 k+1

l＜

2

2

l 
所以，水平位移不可能為l，這種說法是錯誤的．
答：（1）若m能沿直管向上運動，k＞0.5；
（2）若m能飛出管口，k的范圍＞2；
（3）有同學認為，k越大，m離開管口后，水平方向運動的位移就越大，且最大值為繩長l，通過計算判斷這種說法是錯誤的，水平位移不可能為l．

點評：本題考查牛頓第二定律，動能定理及平拋運動規律．
第（2）問中用動能定理求解，也可以用牛頓第二定律和運動學公式但是比較麻煩．