Question

如圖所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度大小都為B．現有一質量為m、電荷量為q的帶負電粒子從P點沿半徑方向向左側射出，最終打到Q點，不計粒子的重力．求：
（1）粒子從P點到Q點的最短運動時間及其對應的運動速率；
（2）符合條件的所有粒子的運動時間及其對應的運動速率．

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場中只受洛倫茲力，做勻速圓周運動．由題意可知：粒子在垂直向里的磁場運動

3

4

圓弧，在垂直向外的磁場運動

1

4

圓弧，對應的時間最短．從而根據已知長度來求出運動速率．由于磁場大小均相同，且洛倫茲力又不做功，因此相同的速率下，它們的半徑均相同．雖不同的運動速率，但周期均相同，所以由題意來確定所有粒子的運動類型，從而求出運動時間及運動速率．

解答：解：（1）粒子的運動軌跡將磁場邊界分成2等分時，對應有最短運動時間
由幾何知識可得：粒子運動的半徑r=R
又Bv₀q=m

v 2 0

R

得v₀=

BqR

m

由對稱性可得，粒子剛好在磁場中運動一周t=

2πm

Bq

（2）設粒子的運動軌跡將磁場邊界分成n等分（n=2，3，4…）
 由幾何知識得 θ=

π

2n

，r=Rtanθ（n=2，3，4…） 
粒子的速率為v₀=

BRq

m

tan

π

2n

（n=2，3，4…）
當n為偶數時，由對稱性可得粒子在磁場中運動圈，t=

π

2

T=n

π2m

Bq

（n=2，4，6…）
當n為奇數時，t為周期的整數倍加上第一段的運動時間，即
t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nBq

（n=3，5，7…）

點評：運動軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問題的一種方法．同時要利用圓的特性與物理規律相結合．