Question

（2007?廣州二模）從水平地面上以初速度v₀把小球豎直向上拋出，若小球運動中所受空氣阻力是其重力的0.6倍，每次接觸地面后在極短的時間內以原速率反彈，重力加速度為g求：
（1）小球從開始拋出到靜止所通過的路程．
（2）小球從開始拋出到剛剛靜止所經歷的時間．（提示：若0＜q＜1，當n無窮大時，取qⁿ=0）

Answer 1

分析：（1）對從拋出到靜止的整個運動過程運用動能定理列式即可求解；
（2）根據牛頓第二定律及運動學基本公式求出前三次上升和下落的時間，找出通式，對通式進行求和即可求解．

解答：解：（1）小球最后靜止在水平地面上，在整個運動過程中，空氣阻力做功使其機械能減少，設小球從開始拋出到最后靜止所通過的路程S，
有    fS=

1

2

m

v

2 0

已知 f=0.6mg    代入算得：S=

5 v 2 0

6g

（2）第一次上升和下降：設上升的加速度為a₁₁．上升所用的時間為t₁₁，上升的最大高度為h₁；下降的加速度為a₁₂，下降所用時間為t₁₂．
上升階段：F_合=mg+f=1.6 mg
由牛頓第二定律：a11=

F合

m

=1.6g            
根據：v_t=v₀-a₁₁t₁₁，v_t=0
得：v₀=l.6gt₁₁，所以t₁₁=

5v0

8g

（1分）
下降階段：a12=

mg-f

m

=0.4g
由h₁=

1

2

a₁₁t₁₁² 和 h₂=

1

2

a₁₂t₁₂²     
得：t₁₂=2t₁₁=

5v0

4g

          所以上升和下降所用的總時間為：T₁=t₁₁+t₁₂=3t₁₁=

15v0

8g

    
    第二次上升和下降，以后每次上升的加速度都為a₁₁，下降的加速度都為a₁₂；設上升的初速度為v₂，上升的最大高度為h₂，上升所用時間為t₂₁，下降所用時間為t₂₂
    由v₂²=2a₁₂h₁和v₀²=2a₁₁h₁          得  v₂=

1

2

v₀          
    上升階段：v₂=a₁₁t₂₁  得：t₂₁=

v2

a11

=

5v0

16g

       
    下降階段：由  h₂=

1

2

a₁₁t₂₁²   和h₂=

1

2

a₁₂t₂₂²       得t₂₂=2t₂₁       
 所以第二次上升和下降所用總時間為：T₂=t₂₁+t₂₂=3t₂₁=

15v0

16g

=

1

2

T₁   
    第三次上升和下降，設上升的初速度為v₃，上升的最大高度為h₃，上升所用時間為t₃₁，下降所用時間為t₃₂
    由 v₃²=2a₁₁h₂   和v₂²=2a₁₂h₂         得：v₃=

1

2

 v₂=

1

4

v₀
    上升階段：v₃=a₁₁t_3l，得t₃₁=

5v0

32g

    
    下降階段：由 h₃=

1

2

a₁₁t₃₁²       和h₃=

1

2

a₁₂t₃₂²            得：t₃₂=2t₃₁   
    所以第三次上升和下降所用的總時間為：T₃=t₃₁+t₃₂=3t₃₁=

15v0

32g

=

1

4

T₁     
    同理，第n次上升和下降所用的總時間為：T_n=(

1

2

)n-1T1       
    所以，從拋出到落地所用總時間為：T=

15v0

4g

答：（1）小球從開始拋出到靜止所通過的路程為

5 v 2 0

6g

．
（2）小球從開始拋出到剛剛靜止所經歷的時間為

15v0

4g

．

點評：本題主要考查了動能定理及牛頓第二定律及運動學基本公式的應用，過程較為復雜，難道適中．