Question

如圖1-4-6所示，在光滑的水平面上有一塊質量m=1 kg的長木板，木板上相距L=1.2 m處各放一個質量m=1 kg的小木塊A和B（這兩個小木塊可當作質點），現分別給A木塊向右的速度v₁=5 m/s,B木塊向左的速度v₂=2 m/s，兩木塊沿同一直線相向運動，兩木塊與木板間的動摩擦因數μ=0.50，兩木塊相遇時作彈性碰撞（碰撞時間極短，且相互交換速度）.（g取10 m/s²)求：

圖1-4-6

（1）如A、B始終在木板上，兩木塊間的最大距離.

(2)要使A、B始終在木板上，木板的長度至少要多長？

Answer 1

（1）1.4 m  (2)2.2 m

解析:

（1）解法一：兩木塊在木板上滑動時的加速度為    a==0.5×10 m/s²=5 m/s²

經t s兩木塊相遇L=v₁t-+v₂t-

t=0.2 s

兩木塊相遇前瞬間的速度分別為

v₁′=4 m/s

v₂′=1 m/s

兩木塊相碰后速度交換

v₁″=1 m/s

v₂″=4 m/s

根據動量守恒定律，可求出兩木塊與木板的共同速度

m₂v₂″-m₁v₁″=(m₁+m₂+m)v

v=m/s=1 m/s

A、B兩木塊相對靜止時相距最遠

μmgs=

s=m=1.4 m.

解法二：兩木塊從開始滑動到相對靜止過程中，A、B、C組成的系統動量守恒：

mv₁-mv₂=(m+m+m)v

從能的轉化和守恒來看，減小的機械能全部用來克服摩擦阻力做功轉化為熱能，且一對摩擦阻力做功的代數和與接觸面間的相對滑動的路程有關，令兩物體最終相距s，則有

f(s+L)=×3mv²

同理可得：s=1.4 m.

(2)A、B兩木塊相遇時A向右的位移為s_a

s_A=vt-at²=5×0.2 m-×5×0.2² m=0.9 m

A、B相碰后，A向左的速度減小到零時，向左的位移為s_A′

S_A′=m=0.1 m

木板的最短長度為d

d=s+s_A-s_A′=1.4 m+0.9 m-0.1 m=2.2 m.