Question

【題目】(2014山東理綜，24) 如圖甲所示，間距為d、垂直于紙面的兩平行板P、Q間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)．取垂直于紙面向里為磁場(chǎng)的正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示．t＝0時(shí)刻，一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q的粒子(不計(jì)重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁場(chǎng)且平行于板面的方向射入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)B0和TB取某些特定值時(shí)，可使t＝0時(shí)刻入射的粒子經(jīng)Δt時(shí)間恰能垂直打在P板上(不考慮粒子反彈)．上述m、q、d、v0為已知量．

(1)若Δt＝TB，求B0；

(2)若Δt＝TB，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度的大小；

(3)若B0＝，為使粒子仍能垂直打在P板上，求TB.

Answer 1

【答案】 (1) (2) (3) 或(＋arcsin )

【解析】 (1)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R1，由牛頓第二定律得

qv0B0＝①

據(jù)題意由幾何關(guān)系得

R1＝d②

聯(lián)立①②式得

B0＝③

(2)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R2，加速度大小為a，由圓周運(yùn)動(dòng)公式得

a＝④

據(jù)題意由幾何關(guān)系得

3R2＝d⑤

聯(lián)立④⑤式得

a＝⑥

(3)設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，由圓周運(yùn)動(dòng)公式得

T＝⑦

由牛頓第二定律得

qv0B0＝⑧

由題意知B0＝，代入⑧式得

d＝4R⑨

粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O1O2為圓心，O1、O2連線與水平方向的夾角為θ，在每個(gè)TB內(nèi),只有A、B兩個(gè)位置才有可能垂直擊中P板，且均要求0＜θ＜，由題意可知T＝⑩

設(shè)經(jīng)歷完整TB的個(gè)數(shù)為n(n＝0，1，2，3……)

若在A點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得

R＋2(R＋Rsin θ)n＝d

當(dāng)n＝0時(shí)，無(wú)解

當(dāng)n＝1時(shí)，聯(lián)立⑨式得

θ＝ (或sin θ＝)

聯(lián)立⑦⑨⑩式得

TB＝

當(dāng)n≥2時(shí)，不滿足0＜θ＜90°的要求

若在B點(diǎn)擊中P板，據(jù)題意由幾何關(guān)系得

R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsinθ)n＝d

當(dāng)n＝0時(shí)，無(wú)解

當(dāng)n＝1時(shí)，聯(lián)立⑨式得

θ＝arcsin (或sinθ＝)

聯(lián)立⑦⑨⑩式得

TB＝(＋arcsin )

當(dāng)n≥2時(shí)，不滿足0＜θ＜90°的要求