Question

【題目】如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，半圓形軌道的半徑為R．一質量為m的小物快以速度V從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出．忽略空氣阻力（重力加速度為g）．

（1）小物塊通過軌道最高點時對軌道壓力大小為多少？

（2）小物快落地點到軌道下端的距離x與軌道半徑R的值有關．若R的取值范圍為[,]，且要使小物快從軌道上端水平飛出．則當R為何值時小物塊落地點到軌道下端的距離x最大？最大值為多少？R為何值時小物塊落地點到軌道下端的距離x最小？最小值為多少？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：設小物塊在軌道最高點速度為v1，對小物塊從軌道下端運動到軌道最高點過程，由機械能守恒和牛頓第二定律即可求出速度；根據平拋公式和動能定理及牛頓第二定律在結合數學知識討論極值。

（1）設小物塊在軌道最高點速度為v1，對小物塊從軌道下端運動到軌道最高點過程，由機械能守恒有：

對小物塊在圓軌道最低點根據牛頓第二定律：

解得：

由牛頓第三定律：小物塊在最高點對軌道的壓力：

（2）小物塊從軌道上端水平飛出后做平拋運動，設運動時間為t

有：

小物快落地點到軌道下端的距離

代入數據得：

設半圓軌道半徑為R0時，小物塊恰能過半圓軌道最高點，

此時對小物塊在最高點有：

又根據能量守恒：

代入數據得：

即要使小物快從軌道上端水平飛出，半圓軌道半徑不能低于

綜上得：當時，x最大，最大值為xmax=

當時，x最小，最小值為xmin=