Question

如圖a所示是一個(gè)處于豎直平面內(nèi)的特殊運(yùn)動(dòng)軌道，OA是長(zhǎng)為x₁=2R的直軌道，AE是傾角為30°的斜軌道，它們與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ=4/9，EDF是圓心在B點(diǎn)，半徑為R的光滑圓弧，D點(diǎn)是最高點(diǎn)，ED圓弧上方有一個(gè)高度與滑塊相近的光滑圓弧形擋板PQ，軌道上的A、E兩點(diǎn)理想連接，使滑塊經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)時(shí)不損失機(jī)械能，且AE⊥EB．可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，質(zhì)量為m，以v₀的初速度從O點(diǎn)進(jìn)入OA直軌道，滑塊在OA軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到水平向右的動(dòng)力作用，它的大小隨滑塊與O點(diǎn)的距離變化，如圖b所示，圖中F₀=mg．滑塊經(jīng)A點(diǎn)滑上斜軌道，到達(dá)軌道最高點(diǎn)D時(shí)恰好對(duì)軌道和擋板都無(wú)壓力，此時(shí)立刻撤除圓弧形擋板PQ．滑塊經(jīng)D點(diǎn)后能無(wú)碰撞地進(jìn)入一個(gè)特殊的漏斗C，漏斗C能將滑塊以進(jìn)入時(shí)的速率反向彈出．求：
（1）滑塊在D點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）初速度v₀的大小；
（3）滑塊從漏斗C彈出后會(huì)再次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)嗎？若會(huì)經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間再次到達(dá)D點(diǎn)，漏斗離F點(diǎn)的距離x₂多大？若不會(huì)經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)重力提供向心力，通過(guò)牛頓第二定律求出滑塊在D點(diǎn)的速度．
（2）根據(jù)F-x圖線求出動(dòng)力做的功，再對(duì)O到D段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出初速度的大小．
（3）從C到D的過(guò)程是平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律知小球能夠再次到達(dá)D點(diǎn)．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的高度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出水平位移，從而得知漏斗離F點(diǎn)的距離x₂

解答：解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m

v2

R

，解得v=

gR

．
（2）OA段動(dòng)力做功為W=

1

2

F0x1=

1

2

×mg×2R=mgR．
對(duì)OD段運(yùn)用動(dòng)能定理得，W-μmg?2R-μmgcos30°?

3

R-mgR=

1

2

mv2-

1

2

mv02
解得v0=

37gR 9

．
（3）能再次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)．從C到D的過(guò)程是平拋運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程．
根據(jù)R=

1

2

gt2得，
t=

2R g

．
x=vt=

2

R．
則漏斗離F點(diǎn)的距離x2=

2

R-R=(

2

-1)R．
答：（1）滑塊在D點(diǎn)時(shí)的速度大小

gR

；
（2）初速度v₀的大小為

37gR 9

；
（3）能，再次到達(dá)D點(diǎn)所需的時(shí)間為

2R g

，漏斗離F點(diǎn)的距離為(

2

-1)R．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了牛頓第二定律、動(dòng)能定理，關(guān)鍵搞清整個(gè)過(guò)程中物體的運(yùn)動(dòng)情況，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道好題．