Question

如圖所示，一半徑R=0.2m的水平圓盤繞過圓心的豎直軸轉動，圓盤邊緣有一質量m=1.0kg的小滑塊．當圓盤轉動的角速度達到某一數值時，滑塊從圓盤邊緣滑落，經光滑的過渡圓管（圖中圓管未畫出）進入軌道ABC．已知AB段為光滑的弧形軌道，A點離B點所在水平面的高度h=1.2m；BC斜面與AB軌道對接且傾角為37°，滑塊與圓盤及BC斜面間的動摩擦因數均為μ=0.5，滑塊在運動過程中始終未脫離軌道，不計在過渡圓管處和B點的機械能損失，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）當圓盤的角速度多大時，滑塊從圓盤上滑落？
（2）求滑塊到達B點時的機械能（取地面為零勢能參考面）．
（3）從滑塊到達B點時起，經0.6s正好通過C點，求BC之間的距離．

Answer 1

分析：（1）滑塊做勻速圓周運動，指向圓心的靜摩擦力力提供向心力，靜摩擦力隨著外力的增大而增大，當滑塊即將從圓盤上滑落時，靜摩擦力達到最大值，根據最大靜摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑塊即將滑落的臨界角速度；
（2）先求出A點的速度，再根據機械能的表達式求解出B點的速度，進而求出在B點時的機械能；
（3）對滑塊受力分析，分別求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根據運動學公式求解出BC間的距離．

解答：解：（1）滑塊在圓盤上做圓周運動時，靜摩擦力充當向心力，根據牛頓第二定律，可得：
μmg=mω²R
代入數據解得：ω=5rad/s
（2）滑塊在A點時的速度：V_A=ωR=1m/s
滑塊在從A到B的運動過程中機械能守恒：mgh+

1

2

mv_A²=

1

2

mv_B²   
解得：
v_B=5m/s     
在B點時的機械能E_B=

1

2

mv_B²=12.5J
（3）滑塊沿BC段向上運動時的加速度大小：a₁=g（sin37°+μcos37°）=10m/s²
滑塊沿BC段向上運動的時間：t₁=

vB

a1

=0.5s  小于題中所給時間，滑塊會返回一段時間
向上運動的位移：S₁=

vB2

2a1

=1.25m
返回時的加速度大小：a₂=g（sin37°-μcos37°）=2m/s²    
 S₂=

1

2

a₂（t-t₁）²=0.01m
BC間的距離：s_BC=S₁-S₂=1.24m
答：（1）當圓盤的角速度為5rad/s時，滑塊從圓盤上滑落；
（2）滑塊到達B點時的機械能為12.5J（取地面為零勢能參考面）．
（3）從滑塊到達B點時起，經0.6s正好通過C點，BC之間的距離為1.24m．

點評：本題關鍵把物體的各個運動過程的受力情況和運動情況分析清楚，然后結合動能定理、牛頓第二定律和運動學公式求解．