Question

（2007?深圳模擬）如圖所示，在處于水平方向的細(xì)管內(nèi)的端點O固定一根長為l、勁度系數(shù)為k的輕彈簧，在彈簧的自由端連接一個質(zhì)量為m的小球，今將細(xì)管以O(shè)為軸逆時針緩慢轉(zhuǎn)動，直至轉(zhuǎn)到豎直方向，在此過程中，下列說法正確的是（　　）

A．小球的重力勢能不斷增大

B．小球的質(zhì)量m足夠大時，總能使小球的重力勢能先增大后減小

C．彈簧長度足夠短時，球的重力勢能將不斷增大

D．以上說法都不對

Answer 1

分析：將平板以O(shè)為轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)逆時針緩慢轉(zhuǎn)動，直至平板變?yōu)樨Q直狀態(tài)，小球始終處于平衡狀態(tài)，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出高度的關(guān)系式，通過關(guān)系式判斷高度的變化，從而判斷重力勢能的變化．

解答：解：設(shè)轉(zhuǎn)過的角度為θ，則mgsinθ=kx，則彈簧的形變量x=

mgsinθ

k

．
球的高度h=（l-x）sinθ=（l-

mgsinθ

k

）sinθ=-

mg

k

(sinθ-

kl

2mg

)²+

kl2

4mg

．因為sinθ＜1．
所以當(dāng)彈簧的長度l一定，則球的質(zhì)量m足夠大時，

kl

2mg

＜1，則h先增大后減小，所以小球的重力勢能先增大后減小．
當(dāng)球的質(zhì)量m一定，則彈簧的長度l足夠小時，

kl

2mg

＜1，則h先增大后減小，所以小球的重力勢能先增大后減小．故B正確，A、C、D錯誤．
故選B．

點評：本題對數(shù)學(xué)能力的要求較高，通過二次函數(shù)的方法并對sinθ的討論得出高度的變化，從而判斷重力勢能的變化．