Question

（16分）如圖所示，兩水平線L₁和L₂分別是水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，正方形線框abcd由均勻材料制成，其邊長(zhǎng)為L（L<d）、質(zhì)量為m、總電阻為R．將線框在磁場(chǎng)上方高h處由靜止開(kāi)始釋放，已知線框的ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和剛穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度相同．求：

（1）ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)ab兩端的電勢(shì)差U_ab；
（2）ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框加速度的大小和方向；
（3）整個(gè)線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程所需的時(shí)間．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框自由下落                   （1分）
ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)         （1分）
可解得                           
電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)?i>a→b
ab兩端的電勢(shì)差為                              （2分）
可解得                                   （1分）
（2）從線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)至線框開(kāi)始穿出磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框中沒(méi)有感應(yīng)電流，線框只受重力，做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。由題意，線框的ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和剛穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度相同．
由此可判斷ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框應(yīng)做減速運(yùn)動(dòng)，故加速度方向向上。（2分）
ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框中的電流為  
所受安培力為                                      （1分）
對(duì)于線框                                       （2分）
由以上各式解得線框的加速度大小為          （1分）
（3）設(shè)線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v₁，則從線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)至線框開(kāi)始穿出磁場(chǎng)的過(guò)程中，有                                  （2分）
在線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，有   

取向下為正方向，有        
可得                                       （1分）
對(duì)于該過(guò)程中的任意微小過(guò)程，有 
將上式對(duì)整個(gè)進(jìn)入過(guò)程求和，即    （1分）
可得           
即             
可解得        
點(diǎn)評(píng)：正方形線框abcd邊長(zhǎng)為L(zhǎng)（L＜d），所以有一段過(guò)程線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)，線框無(wú)感應(yīng)電流，只受重力．根據(jù)能量守恒研究從ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)到cd邊剛穿出磁場(chǎng)的整個(gè)過(guò)程求解．