Question

如圖所示為過山車簡易模型，它是由光滑水平軌道和豎直面內的光滑圓軌道組成，Q點 為圓形軌道最低點，M點為最高點，圓形軌道半徑R=0.32m．水平軌道PN右側的水平 地面上，并排放置兩塊長木板c、d，兩木板間相互接觸但不粘連，長木板上表面與水平軌 道PN平齊，木板c質量m₃=2.2kg，長L=4m，木板d質量m₄=4.4kg．質量m₂=3.3kg 的小滑塊b放置在軌道QN上，另一質量m₁=1.3kg的小滑塊a從P點以水平速度v₀向 右運動，沿圓形軌道運動一周后進入水平軌道與小滑塊b發生碰撞，碰撞時間極短且碰 撞過程中無機械能損失．碰后a沿原路返回到M點時，對軌道壓力恰好為0．已知小滑 塊b與兩塊長木板間動摩擦因數均為μ₀=0.16，重力加速度g=10m/s²．
（1）求小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v₁和v₂；
（2）若碰后滑塊b在木板c、d上滑動時，木板c、d均靜止不動，c、d與地面間的動摩擦因 數μ至少多大？（木板c、d與地面間的動摩擦因數相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦 力）
（3）若不計木板c，d與地面間的摩擦，碰后滑塊b最終恰好沒有離開木板d，求滑塊b在 木板c上滑行的時間及木板d的長度．

Answer 1

分析：（1）a恰好通過M對軌道沒有壓力，重力提供a做圓周運動的向心力，由牛頓第二定律可以求出a的速度，a與b碰撞過程中系統動量守恒、機械能守恒，a碰后返回到圓軌道最高點過程中，機械能守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出碰后a、b的速度．
（2）當b與c上表面的滑動摩擦力小于等于c、d與地面間的摩擦力時，c、d不動．
（3）b做勻減速運動，c、d做勻加速運動，由牛頓第二定律與運動學公式可以求出b的滑行時間與木板長度．

解答：解：（1）小滑塊a在M點，由牛頓第二定律得：m₁g=

m1 v 2 M

R

，
小滑塊a從碰后到到達M的過程中，由機械能守恒定律得：

1

2

m₁v₁²=

1

2

m₁v_M²+m₁g?2R，解得：v₁=4m/s，
兩滑塊碰撞過程中動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：m₁v₀=-m₁v₁+m₂v₂，
碰撞過程中機械能守恒，由機械能守恒定律得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²，
解得：v₀=9.2m/s，v₂=5.2m/s；
（2）若b在d上滑動時d能靜止，則b在c上滑動時，c與d一定能靜止，
μ（m₂+m₄）g＞μ₀m₂g，解得μ＞0.069；
（3）小滑塊b滑上長木板c時的加速度大小a₁=μ₀g=1.6m/s²，
此時兩塊長木板的加速度大小a₂=

μ0m2g

m3+m4

=0.8m/s²，
小滑塊b在c上滑行過程中，b的位移：x₁=v₂t-

1

2

a₁t²，
兩塊長木板的位移x₂=

1

2

a₂t²，x₁-x₂=L，
解得：t=1s，t=

10

3

s不合題意，舍去；
b剛離開長木板c時，b的速度v₂′=v₂-a₁t=3.6m/s，
b剛離開長木板c時，d的速度v₃=a₂t=0.8m/s，
設d的長度至少為x，由動量守恒定律可得：
m₂v₂′+m₄v₃=（m₂+m₄）v，解得v=2m/s，
由能量守恒定律得：μ₀m₂gx=

1

2

m₂v₂′²+

1

2

m₄v₃²-

1

2

（m₂+m₄）v²，
解得：x=1.4m．
答：（1）小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v₁=4m/s，v₂=5.2m/s；
（2）c、d與地面間的動摩擦因 數μ至少為0.069；
（3）滑塊b在木板c上滑行的時間為1s，木板d的長度為1.4m．

點評：本題涉及到四個物體，多個運動過程，屬于多體多過程問題，難度較大，是一道難題；分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關鍵．