Question

如圖所示的凹形場地，兩端是半徑為L的光滑

1

4

圓弧面，中間是長為4L的粗糙水平面質量為3m的乙開始停住水平面的中點O處，質量為m的甲從光滑圓弧面的A處無初速度地滑下，進入水平面后與乙碰撞，且碰后以碰前一半的速度反彈，已知甲、乙與水平而的動摩擦因數分別為μ₁、μ₂，且μ₁=2μ₂．甲、乙的體積大小忽略不計，求：
（1）甲與乙碰撞前的速度；
（2）由于碰撞而損失的機械能；
（3）甲、乙在O處發生碰撞后．剛好不再發生碰撞，甲、乙停在距B點多遠處．

Answer 1

分析：（1）甲從下滑到與乙碰撞前，重力和摩擦力做功，根據動能定理求解甲與乙碰撞前的速度；
（2）甲乙碰撞過程，系統的動量守恒，根據動量守恒定律求出碰撞后乙的速度，根據能量守恒求解由于碰撞而損失的機械能；
（3）根據牛頓第二定律和運動學公式求出甲乙兩物體碰撞后在水平地面上通過的路程之比．由題，甲、乙剛好不再發生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點停下，有以下兩種情況：第一種情況：甲返回時未到達B點時就已經停下，分析能否發生；第二種情況：甲、乙分別通過B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運動停在同一地點，所以有
s₁+s₂=8L．求出s₁或s₂，即可求出甲、乙停在距B點距離．

解答：解：（1）設甲到達O處與乙碰撞前的速度為v_甲，由動能定理得：
  m_甲gL-μ₁m_甲g?2L=

1

2

m甲

v

2 甲

解得：v甲=

2gL(1-2μ1)

（2）設碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲′、v_乙′，由動量守恒得：
   m_甲v_甲=m_甲v_甲′+m_乙v_乙′，
解得：v_乙′=

1

2

2gL(1-2μ1)

根據能量轉化和守恒定律得，損失的機械能為：△E=

1

2

m甲

v

2 甲

-

1

2

m甲

v

′2 甲

-

1

2

m乙

v

′2 乙

解得△E=0
（3）由于μ₁=2μ₂，所以甲、乙在水平面上運動的加速度滿足：a_甲=2a_乙．
設甲在水平地面上通過的路程為s₁，乙在水平地面上通過的路程為s₂，則有：
   

v

′2 甲

=2a_甲s₁，
   

v

′2 乙

=2a_乙s₂，
得：

s1

s2

=

1

2

  ①
由于甲、乙剛好不再發生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點停下，有以下兩種情況：
  第一種情況：甲返回時未到達B點時就已經停下，此時有：s₁＜2L，而乙停在甲所在位置時，乙通過的路程為：s₂=2L+2L+s₁=4L+s₁．
因為s₁與s₂不能滿足①，因此這種情況不能發生．
第二種情況：甲、乙分別通過B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運動停在同一地點，所以有
   s₁+s₂=8L   ②
①②式得：s1=

8L

3

或s2=

16L

3

即甲、乙停在距B點距離為：△L=s₁-2L=

2

3

L
答：
（1）甲與乙碰撞前的速度是

2gL(1-2μ1)

；
（2）由于碰撞而損失的機械能為零．
（3）甲、乙在O處發生碰撞后．剛好不再發生碰撞，甲、乙停在距B點

2

3

L．

點評：本題前2問是常規問題，根據動能定理求速度、根據碰撞的基本規律：動量守恒定律求解碰撞乙的速度，得到動能的損失．第3問考查分析物體運動過程的能力．