Question

相互平行的兩根足夠長的金屬導軌置于水平面上，導軌光滑，間距為d，導軌的左端連接有阻值為R的電阻，導軌自身電阻不計，垂直于導軌平面的勻強磁場的磁感應強度為B，現有一質量為m，電阻不計的金屬棒垂直置于導軌上．
（1）若給金屬棒以向右的初速度V₀，求在金屬棒整個運動過程中電阻R上的焦耳熱Q₁
（2）若給金屬棒施加一水平向右的恒力F，已知從金屬棒開始運動到剛達到穩定運行的過程中，電阻R上的焦耳熱為Q，求此過程中流過R的電量q
（3）若給金屬棒施加水平向右的拉力的功率恒為P，已知從金屬棒開始運動到剛達到穩定運行的過程中歷經的時間為t，求此過程中電阻R上產生的熱量Q₂．

Answer 1

分析：（1）由能量的轉化和守恒可知，金屬棒的動能會全部轉化為電阻上的焦耳熱．
（2）達到穩定時安培力與F等大反向，可得此時的速度，此過程中拉力做功轉化為電阻上的焦耳熱和金屬棒的動能，再由感應電量的表達式q=

△?

R

，可得此過程中流過R的電量q．
（3）由功率P=Fv和安培力表達式可以得到速度表達式，也即可以得到動能表達式，此過程中拉力做功轉化為電阻上的焦耳熱和金屬棒的動能，由此可求此過程中電阻R上產生的熱量Q₂．

解答：解：（1）由能量的轉化和守恒可知，金屬棒的動能會全部轉化為電阻上的焦耳熱，若給金屬棒以向右的初速度v₀，在金屬棒整個運動過程中電阻R上的焦耳熱Q₁為：
Q1=

1

2

mv02…①
（2）達到穩定時安培力與F等大反向，設此時導體棒的速度為v，位移為x，由此可得：
F=BIL=

B2L2v

R

…②
解得：v=

FR

B2L2

…③
此過程中拉力做功轉化為電阻上的焦耳熱和金屬棒的動能：
Fx=Q+

1

2

mv2…④
由感應電量的表達式：
q=

△?

R

=

BLx

R

…⑤
解得：x=

qR

BL

…⑥
由③④⑥解得：q=

BLQ

FR

+

mFR

2B4L4

（3）由功率：P=Fv…⑦
由②⑦解得：v2=

PR

B2L2

…⑧
拉力做功為：W=Pt
此過程拉力做功轉化為電阻上的焦耳熱和金屬棒的動能：
Pt=Q2+

1

2

mv2…⑨
由⑧⑨解得：Q2=Pt-

mPR

2B4L4

答：（1）若給金屬棒以向右的初速度V₀，求在金屬棒整個運動過程中電阻R上的焦耳熱Q1=

1

2

mv

2 0

．
（2）若給金屬棒施加一水平向右的恒力F，已知從金屬棒開始運動到剛達到穩定運行的過程中，電阻R上的焦耳熱為Q，此過程中流過R的電量q=

BLQ

FR

+

mFR

2B4L4

．
（3）若給金屬棒施加水平向右的拉力的功率恒為P，已知從金屬棒開始運動到剛達到穩定運行的過程中歷經的時間為t，此過程中電阻R上產生的熱Q2=Pt-

mPR

2B4L4

．

點評：解決本題關鍵是掌握好能量的轉化和守恒，另一個重點是要掌握由感應電量的表達式q=

△?

R

，題目難度稍大．