Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側某一位置有一豎直放置的、左上角有一開口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離是h=0.8m．如用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點．現換用同種材料制成的質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點沿切線滑入光滑圓軌道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．
（1）求物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力；
（2）求彈簧的彈性勢能E_P；
（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調節，使從C點釋放又從D點滑出的質量為m=km₁物塊都能由P點沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過最高點M，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）物體恰好無碰撞落到P點，其豎直分速度可以根據落體規律求解，然后根據速度偏轉角求解水平分速度并得到P點速度，然后根據機械能守恒定律求解M點速度；
（2）對釋放兩個滑塊過程分別運用動能定理列式（由C到D過程），聯立方程組求解；
（3）先根據C到D過程機械能守恒列式，再根據D到M過程機械能守恒列式，能過最高點列式，最后聯立方程組求解即可．
解答：解析：（1）設物塊由D點以初速v_D做平拋，落到P點時其豎直速度為
由于，解得v_D=3m/s
若物塊到達M點速度為v_M，有
P到M過程，機械能守恒

解得：v_M=3m/s
軌道對物塊的壓力為F_N，則
解得F_N=1.6N
（2）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，
釋放m₁時，E_P=μm₁gS_CD
釋放m₂時，
聯立解得：
（3）設質量為km₁的物塊，到M點的最小速度為v，
解得
由機械能守恒定律，得到

能通過最高點

機械能守恒

解得
1.8（1-k）≥k
即
答：（1）物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力為1.6N；
（2）求彈簧的彈性勢能為1.8J；
（3）k的取值范圍為．
點評：本題關鍵要分析清楚物體的運動規律，然后多次運用機械能守恒定律列式，最后聯立方程組求解即可．