Question

如圖所示，建立xOy坐標系．在第二、第三象限有電場強度為E的勻強電場，方向沿y軸負方向，電場區域寬度為mv₀²/qE；在第一、四象限有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于xOy平面向里，圖中右側虛線為磁場區域的右邊界．現有一質量為m，電荷量為-q的帶電粒子從電場中坐標位置（-mv₀²/qE，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開始運動，（重力不計），試求：
（1）使帶電粒子不能穿越磁場區域，磁場區域的寬度d應滿足條件；
（2）帶電粒子最終離開電場時的坐標及動能．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，根據動力學知識求出帶電粒子進入磁場時的速度大小和方向，根據帶電粒子在磁場中的半徑公式以及幾何關系求出磁場寬度滿足的條件．
（2）帶電粒子再次回到電場中的速度與進入磁場的速度對稱，根據y方向上的運動規律結合運動學公式求出y方向上的位移，從而得出離開電場時的坐標，根據動能定理得出離開電場時的動能．

解答：解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，設運動的加速度為a，
由牛頓運動定律得：qE=ma
設粒子出電場、入磁場的速度大小為v，
此時在y軸方向的分速度為v_y，
粒子在電場中運動的時間為t，則x軸方向上有：

mv02

qE

=v0t
y軸方向上有：qE=ma，v_y=at
解得v_y=v₀，所以v=

v02+vy2

=

2

v0
設v的方向與y軸方向的夾角為θ，則有θ=45°．
粒子進入磁場后在洛倫茲力作用下做圓周運動，如圖．
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

，可得：R=

mv

qB

由圖中幾何關系可知，要使粒子不穿越磁場區域．
磁場的寬度應滿足的條件：d≥R（1+cosθ）
結合已知條件解以上各式得：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）第一次回到電場中，粒子在y方向上的位移為：
y1=

1

2

at2=

mv02

2qE

再一次回到電場中，粒子在y方向上的位移為：
y2=vyt+

1

2

at2=

3mv02

2qE

y=y₁-2Rcosθ+y₂，即y=

2mv02

qE

-

2mv0

qB

．
坐標為（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

）
再一次回到電場中，粒子在電場力作用下運動，根據動能定理得：
qE(y1+y2)=EK-

1

2

mv02
即得EK=

5

2

mv02
答：（1）使帶電粒子不能穿越磁場區域，磁場區域的寬度d應滿足條件為：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）帶電粒子最終離開電場時的坐標為（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

），動能為EK=

5

2

mv02．

點評：本題考查帶電粒子在復合場中的運動，綜合性較強，對學生能力的要求較高，關鍵要理清帶電粒子的運動規律．