Question

鐵路轉彎處的彎道半徑r是根據地形決定的．彎道處要求外軌比內軌高，其內外軌高度差h的設計不僅與r有關，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設計人員技術手冊中彎道半徑r及與之對應的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據表中數據，試導出h和r關系的表達式，并求出當r=550m時，h的設計值；
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內外軌道均不向車輪施加側向壓力，又已知我國鐵路內外軌的間距設計值為L=1435mm，結合表中數據，算出我國火車的轉彎速率v（g=9.8m/s，以km/h為單位，結果取整數；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節奏加快，對交通運輸的快捷提出了更高的要求．為了提高運輸力，2007年4月18日鐵道部將對鐵路進行第六次大面積提速，這就要求鐵路轉彎速率也需要提高．請根據上述計算原理和上述表格分析提速時應采取怎樣的有效措施？

Answer 1

分析：（1）根據表中數據可知，每組的h與r之乘積均等于常數，根據這個關系求出當r=550m時，h的設計值．
（2）對火車受力分析，通過合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出火車的轉彎速率v．
（3）當速度增大，根據牛頓第二定律分析采取的有效措施．

解答：解：（1）分析表中數據可得，每組的h與r之乘積均等于常數：
C=660m×50×10^-3m=33m²   因此：h?r=33（或h=33

1

r

）①
當r=550m時，有：h=

33

550

m=0.06m=60mm      
（2）轉彎中，當內外軌對車輪沒有側向壓力時，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：
mgtanθ=m

v2

r

  ②
因為θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

③
由②，③可得：v=

ghr L

 ④
代入數據得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當增大內外軌的高度差h；
b．適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當r=550m時，h的設計值60mm．
（2）我國火車的轉彎速率v為54km/h．
（3）可以適當增大內外軌的高度差h；適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．

點評：解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，搞清向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．