Question

（19分）“嫦娥三號”在月面成功軟著陸，該過程可簡化為：距月面15 km時，打開反推發動機減速，下降到距月面H=l00m.處時懸停，尋找合適落月點；然后繼續下降，距月面h＝4m時，速度再次減為零；此后關閉所有發動機，自由下落至月面。“嫦娥三號”質量為m（視為不變），月球質量是地球的k倍．月球半徑是地球的n倍，地球半徑為R、表面重力加速度為g；月球半徑遠大于H，不計月球自轉的影響。以下結果均用題中所給符號表示。
（1）求月球表面的重力加速度大小；
（2）求“嫦娥三號”懸停時反推發動機的推力大小F，以及從懸停處到落至月面過程中所有發動機對“嫦峨三號”做的功W；
（3）取無窮遠處為零勢能點，月球引力范圍內質量為m的物體具有的引力勢能，式中G為萬有引力常量，為月球的質量，r為物體到月心的距離。若使“嫦娥三號”從月面脫離月球引力作用，忽略其它天體的影響，發射速度v₀至少多大？（用k、n、g、R表示）

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）嫦娥三號在地球上，根據萬有引力定律有：
嫦娥三號在月球上，根據萬有引力定律有：，又，解得
（2）嫦娥三號懸停時，由平衡條件可得 ，由上式可得：
嫦娥三號由懸停到落至月面，由功能關系有：，解得
（3）嫦娥三號從月面到無窮遠處過程中，由能量守恒定律，有，由上述式子聯立可得：