Question

如圖1示，箱子A連同固定在箱子底部的豎直桿的總質(zhì)量為M=10kg．箱子內(nèi)部高度H=3.75m，桿長h=2.5m，另有一質(zhì)量為m=2kg的小鐵環(huán)B套在桿上，從桿的底部以v₀=10m/s的初速度開始向上運(yùn)動(dòng)，鐵環(huán)B剛好能到達(dá)箱頂，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）在鐵環(huán)沿著桿向上滑的過程中，求所受到的摩擦力大小為多少．甲同學(xué)認(rèn)為可以對鐵環(huán)進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求解；乙同學(xué)認(rèn)為可以對鐵環(huán)進(jìn)行受力分析，從鐵環(huán)開始運(yùn)動(dòng)到鐵環(huán)到達(dá)最高點(diǎn)的全過程應(yīng)用動(dòng)能定理求解．你認(rèn)為哪個(gè)同學(xué)的方法在書寫和計(jì)算上比較簡單？請用這種簡單的方法求出摩擦力的大小．
（2）在圖2坐標(biāo)中，畫出鐵環(huán)從箱底開始上升到第一次返回到箱底的過程中箱子對地面的壓力隨時(shí)間變化的圖象（要求寫出對重點(diǎn)數(shù)據(jù)的簡要的推算步驟）
（3）若鐵環(huán)與箱底每次碰撞都沒有能量損失，求小環(huán)從開始運(yùn)動(dòng)到最終停止在箱底，所走過的總路程是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的關(guān)系進(jìn)行分析；根據(jù)動(dòng)能定理求解摩擦力的大小．
（2）第一次到達(dá)桿頂用時(shí)t₁，速度為v₁，第一次離開桿頂?shù)椒祷貤U頂用時(shí)t₂，第一次滑到桿底速度為v₂，在桿上滑下用時(shí)t₃．分三個(gè)過程進(jìn)行研究．
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出時(shí)間，再根據(jù)牛頓第二定律求出各時(shí)間段對應(yīng)的壓力，即可畫圖；
（3）先求出小環(huán)能升到桿頂所需要的能量和小環(huán)第一次滑到桿底的機(jī)械能，判斷是否能再次越過桿頂，再根據(jù)動(dòng)能定理求出在桿上反復(fù)滑行的總路程即可求解．

解答：解：（1）乙同學(xué)方法比較簡便，因?yàn)閯?dòng)能定理是根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出來的．
對小鐵環(huán)上升的過程運(yùn)用動(dòng)能定理得：
-mgH-fs=0-

1

2

mv₀²
解得：f=10N
（2）第一次到達(dá)桿頂用時(shí)t₁，速度為v₁，第一次離開桿頂?shù)椒祷貤U頂用時(shí)t₂，
第一次滑到桿底速度為v₂，在桿上滑下用時(shí)t₃．
則鐵環(huán)做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的過程，有 v₁=

2g(H-h)

=5m/s，t₂=

2v1

g

=1s
對于第一次從底端到桿過程 t₁=

h

1 2 (v0+v1)

=

1

3

s
第一次從桿頂?shù)降锥说倪^程，由動(dòng)能定理：mgH-fh=

1

2

mv₂²
解得，v₂=5

2

m/s
t₃=

h

1 2 (v1+v2)

=（

2

-1）s=0.41s
圖上畫出
對0～

1

3

s：N₁=Mg-f=90N

1

3

s～

4

3

s：N₂=Mg=100N

4

3

s～（

1

3

+

2

）s：N₃=Mg+f=110N
如下圖所示；
（2）小環(huán)能升到桿頂所需要的能量為：
E₀=mgh+fh=2×10×2.5+10×2.5=75J
小環(huán)第一次滑到桿底的機(jī)械能為E₂：E₂=mv₀²-2fh=50J
E₂＜E₀所以小環(huán)只能越過桿頂一次，
設(shè)小環(huán)在桿上反復(fù)滑行的總路程為s：
有動(dòng)能定理得：
fs=

1

2

mv₀²
解得：s=10m
s_總=2（H-h）+s=12.5m
答：（1）在鐵環(huán)沿著桿向上滑的過程中，所受到的摩擦力大小為10N；
（2）如圖所示；
（3）小環(huán)從開始運(yùn)動(dòng)到最終停止在箱底，所走過的總路程為12.5m．

點(diǎn)評：本題主要考查了動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，在第（3）問中要注意先判斷小環(huán)能離開桿頂幾次，鐵環(huán)與箱底每次碰撞都沒有能量損失，說明速度大小不變，方向相反，難度適中．