Question

如圖所示，質(zhì)量M=1.5kg的小車靜止于光滑水平面上并靠近固定在水平面上的桌子右邊，其上表面與水平桌面相平，小車的左端放有一質(zhì)量為0.5kg的滑塊Q．水平放置的輕彈簧左端固定，質(zhì)量為0.5kg的小物塊P置于桌面上的A點(diǎn)并與彈簧的右端接觸，此時(shí)彈簧處于原長．現(xiàn)用水平向左的推力將P緩慢推至B點(diǎn)（彈簧仍在彈性限度內(nèi)）時(shí)，推力做的功為W_F=4J，撤去推力后，P沿光滑的桌面滑到小車左端并與Q發(fā)生彈性碰撞，最后Q恰好沒從小車上滑下．已知Q與小車表面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1．（g=10m/s²）
（1）Q剛在小車上滑行時(shí)的初速度v₀；
（2）小車的長度至少為多少才能保證滑塊Q不掉下？

Answer 1

分析：（1）用水平向左的推力緩慢壓縮彈簧，彈簧獲得的彈性勢(shì)能等于推力做的功．當(dāng)彈簧完全推開物塊P時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為物塊P的動(dòng)能，可得到物塊P的速度．P、Q發(fā)生彈性碰撞，動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，可求得碰撞后兩滑塊的速度大小．
（2）滑塊Q在小車上滑行，做勻減速運(yùn)動(dòng)，小車做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，滑塊Q相對(duì)小車滑行的位移大小等于車子的最小長度．根據(jù)牛頓第二定律和速度公式求出速度相等時(shí)所需要的時(shí)間，再由位移公式求解相對(duì)位移，即可得到小車的最小長度．

解答：解：（1）壓縮彈簧做功時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_P=W_F，當(dāng)彈簧完全推開物塊P時(shí)有：
  E_P=

1

2

mPv2，得v=4m/s，
∵P、Q之間發(fā)生彈性碰撞，
∴有：m_pv=m_pv'+m_Qv₀，
  

1

2

mpv2=

1

2

mpv′2+

1

2

mQv02，
根據(jù)以上兩式解得：v₀=v=4m/s，v'=0
（2）滑塊Q在小車上滑行，做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為  aQ=

μmQg

mQ

=μg=1m/s2
小車開始做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為aM=

μmQg

M

=

1

3

m/s2
小車和滑塊達(dá)到相等速度時(shí)不掉下來就不會(huì)掉下來，達(dá)到共同速度的時(shí)間為t，則有：
   v₀-a_Qt=a_Mt
解得，t=3s
∴小車的長度L為：v₀t-

1

2

aQt2-

1

2

aMt2=L
解得 L=6m
答：
（1）Q剛在小車上滑行時(shí)的初速度v₀為4m/s．
（2）小車的長度至少為6m才能保證滑塊Q不掉下．

點(diǎn)評(píng)：本題是含有彈性碰撞的過程，運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒等知識(shí)研究，難點(diǎn)是分析滑塊剛好不從小車上滑下的臨界條件：兩者速度相等，相對(duì)位移等于車長．