Question

圖示為倉庫中常用的皮帶傳輸裝置示意圖，它由兩臺皮帶傳送機組成，一臺水平傳送，A、B 兩端相距3m ，另一臺傾斜，傳送帶與地面的傾角θ=" 37°," C、D 兩端相距4.45m , B、C 相距很近。水平部分AB 以5m/s的速率順時針轉動。將質量為10 kg 的一袋大米放在A 端，到達B 端后，速度大小不變地傳到傾斜的CD 部分，米袋與傳送帶間的動摩擦因數均為0.5。試求：
(1)若CD 部分傳送帶不運轉，求米袋沿傳送帶所能上升的最大距離。
(2)若要米袋能被送到D 端，求CD 部分順時針運轉的速度應滿足的條件及米袋從C 端到D 端所用時間的取值范圍。(g=10m/s² ,sin37°="0.6" , cos37°=0.8）

Answer 1

（1）1.25m
（2）1.16s≤t≤2.1s

⑴米袋在AB上加速時的加速度：
a₀=μmg/m=μg=5m/s²①
米袋的速度達到v₀=5m/s/時運動的距離：
s₀=v₀²/2a₀=2.5m<3m②
因此米袋在達到B點之前就與傳送帶具有了相同的速度：
設米袋在CD上運動的加速度大小為a,上升的最大距離為s_max，由牛頓第二定律得：
a=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²③
由運動學公式：
s_max=v₀²/(2a)=1.25m④
⑵設CD部分運轉速度為v₁(v₁<5m/s)時米袋恰能到達D點(即米袋到達D點時速度恰好為零)，則米袋速度減為v₁之前的加速度大小為：
a₁=(mgsinθ+μmgcosθ）/m=10m/s²⑤
米袋速度達到至減為零前的加速度大小為：
a₂=(mgsinθ-μmgcosθ）/m=2m/s²⑥
由運動學公式：
(v₀²-v₁²)/(2a₁)+v₁²/(2a₂)=4.45⑦  
解得v₁=4m/s，即要把米袋送到D點，CD部分的速度V_CD≥v₁=4m/s⑧  
米袋恰能運到D點所用時間最長為：
t_max=(v₀-v₁)/a₁+v₁/a₂=2.1s⑨  
若CD部分傳送帶的速度很大，使米袋沿CD上滑時所受摩擦力一直沿皮帶向上，則所用時間最短，此種情況米袋加速度一直為a₂。
由S_CD=v₀t_min-a₂t_min²/2⑩ 
解得t_min=1.16s（用帶根式的答案也可）⑾ 
所以，所求的時間t的范圍為1.16s≤t≤2.1s⑿