Question

如圖7-6-13所示，一直桿長L，質量不計，能繞O點在豎直平面內轉動，桿的中點固定有小球B，另一端固定有小球A，兩球的質量均為m，開始時細桿處在水平位置，由靜止釋放.

圖7-6-13

（1）細桿與兩個小球在豎直平面內運動時，該系統機械能守恒嗎？為什么？

（2）細桿通過豎直位置時，A、B兩球的線速度v_A、v_B各多少？

（3）對A、B兩球來講，它們在運動過程中機械能各自守恒嗎？為什么？

Answer 1

解析：擺動過程中只有球的重力做功，系統機械能守恒，初始位置兩球機械能（重力勢能）守恒，由于兩球在最低點的角速度相等，可計算得出最低點兩球的機械能不同，對每個小球而言機械能不守恒（可依據機械能守恒定律與線速度公式v=rω列式計算）.

（1）對A、B兩球與細桿組成的系統而言，所受的外力有重力和O點的支持力，運動過程中，O點的支持力不做功，只有重力做功，故系統的機械能守恒.

（2）取過O點的水平面為參考平面，根據機械能守恒定律，有

由于m_A=m_B=m，因此上式化簡為v_a²+v_b²=3gL①

因A、B球固定在同一細桿上，故運動的角速度相等，其線速度的大小關系為v_A=2v_B②

①②式聯立解得細桿通過豎直位置時，A、B兩球的線速度大小分別為，.③

（3）在運動過程中A球機械能的變化量為

④

B球機械能的變化量為

⑤

③式代入④⑤式得

ΔE_A=0.2mgL

ΔE_B=-0.2mgL

雖然對A、B兩球而言，其各自機械能不守恒，A球的機械能增加了0.2mgL，B球的機械能就減少了0.2mgL（通過細桿相互做功），而ΔE_A+ΔE_B=0，表明把兩球與細桿作為一個系統，其機械能守恒.