Question

【題目】地面上有一個半徑為 R 的圓形跑道，高為 h 的平臺邊緣上的 P 點在地面 上 P′點的正上方， P′與跑道圓心 O 的距離為 L（L>R），如圖所示。跑道上停有一輛小車， 現從 P 點水平拋出小沙袋，使其落入小車中（沙袋所受空氣阻力不計）。問：

（1）當小車分別位于 A 點和 B 點時（∠AOB＝90° ），沙袋被拋出時的初速度各多大？

（2）若小車在跑道上運動，則沙袋被拋出時的初速度在什么范圍內 ？

（3）若小車沿跑道順時針運動（如圖中箭頭所示），當小車恰好經過 A 點時，將沙袋 拋出，為使沙袋能在 B 處落入小車中，小車的速率v 應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）vA=（L-R）；（2）（L-R）≤v0≤（L+R）

（3）v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．

【解析】

試題分析：（1）沙袋從P點被拋出后做平拋運動，設它的落地時間為t，則h=gt2

解得（1）

當小車位于A點時，有xA=vAt=L-R（2）

解（1）（2）得vA=（L-R）

當小車位于B點時，有（3）

解（1）（3）得

（2）若小車在跑道上運動，要使沙袋落入小車，最小的拋出速度為

v0min=vA=（L-R）（4）

若當小車經過C點時沙袋剛好落入，拋出時的初速度最大，有xc=v0maxt=L+R （5）

解（1）（5）得 v0max=（L+R）

所以沙袋被拋出時的初速度范圍為（L-R）≤v0≤（L+R）

（3）要使沙袋能在B處落入小車中，小車運動的時間應與沙袋下落時間相同

tAB=（n+）（n=0，1，2，3…）（6）

所以tAB=t=

解得v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．