Question

如圖所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內側底部靜止著一個光滑小球，現給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速v₀，若v₀大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同．下列說法中正確的是（　　）

• A．如果v₀=

  gR

  ，則小球能夠上升的最大高度為

  R

  2

• B．如果v₀=

  2gR

  ，則小球能夠上升的最大高度為R
• C．如果v₀=

  3gR

  ，則小球能夠上升的最大高度為

  3R

  2

• D．如果v₀=

  4gR

  ，則小球能夠上升的最大高度為2R

Answer 1

分析：先根據機械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根據向心力公式判斷在此位置速度能否等于零即可求解．

解答：解：
A、如果v₀=

gR

，根據機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 0

=mgh，解得：h=

R

2

，即小球能夠上升的最大高度為

R

2

，故A正確；
B、設小球恰好能運動到與圓心等高處時在最低點的速度為v，則根據機械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv2，解得，v=

2gR

故如果v₀=

2gR

，則小球能夠上升的最大高度為R，故B正確．
C、D設小球恰好運動到圓軌道最高點時在最低點的速度為v₁，在最高點的速度為v₂．
則在最高點，有 mg=m

v 2 2

R

；
從最低點到最高點的過程中，根據機械能守恒定律得：2mgR=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

；
聯立以上兩式得：v=

5gR

；
所以如果v₀=

3gR

和v₀=

4gR

，小球不能到達圓軌道的最高點，即上升的高度小于2R．
如果v₀=

3gR

，根據機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 0

=mgh，解得：h=

3

2

R，當根據豎直平面內的圓周運動知識可知小球在上升到

3

2

R處之前就做斜拋運動了，故C、D錯誤；
故選：AB

點評：本題主要考查了機械能守恒定律在圓周運動中的運用，要判斷在豎直方向圓周運動中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．