Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長，∠aOc=60°．虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點到MN的距離為L．MN左側是磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場．一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點．一質量為m的導體棒ef平行于MN置于導軌上，導體棒與導軌接觸良好．某時刻使導體棒從MN的右側

L

4

處由靜止開始釋放，導體在被壓縮彈簧的作用下向左運動，當導體棒運動到O點時彈簧與導體棒分離．導體棒由MN運動到O點的過程中做勻速直線運動．導體棒始終與MN平行．已知導體棒與彈簧彼此絕緣，導體棒和導軌單位長度的電阻均為r₀，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式EP=

1

2

kx2計算，k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量．
（1）證明：導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，感應電流的大小保持不變；
（2）求彈簧的勁度系數k和導體棒在磁場中做勻速直線運動時速度v₀的大��；
（3）求導體棒最終靜止時的位置距O點的距離．

Answer 1

分析：（1）導體棒在磁場中做勻速直線運動，根據E=BLv求出感應電動勢，根據閉合電路歐姆定律求出感應電流，判斷感應電流是否為一定值．
（2）釋放導體棒后在未進入磁場的過程中，導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，

1

2

k(

5L

4

)2-

1

2

kL2=

1

2

mv02得出勻速運動的速度大小，從而得知感應電流的大小，根據牛頓第二定律2BIxtan30°-kx=0得出勁度系數k．
（3）導體棒過O點后與彈簧脫離，在停止運動前做變減速運動．根據牛頓第二定律BIl=ma，根據微分思想

B2l1v1

3r0

△t1+

B2l2v2

3r0

△t2+

B2l3v3

3r0

△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…求出導體棒最終靜止時的位置距O點的距離．

解答：解：（1）設導體棒在磁場中做勻速直線運動時的速度為v₀，某時刻導體棒在回路中的長度為l，則此時感應電動勢E=Blv₀
此時回路的電阻R=3lr₀
回路中的感應電流I=

E

R

=

Bv0

3r0

①
因為B、v₀和r₀均為不變量，所以感應電流I為不變量．
（2）釋放導體棒后在未進入磁場的過程中，導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，則有

1

2

k(

5L

4

)2-

1

2

kL2=

1

2

mv02②
導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，設某時刻導體棒距O的距離為x，
根據牛頓第二定律有2BIxtan30°-kx=0③
由①②③解得k=

B4L2

12mr02

④v0=

3 B2L2

8mr0

⑤
（3）導體棒過O點后與彈簧脫離，在停止運動前做減速運動．設某時刻導體棒距O點的距離為x，導體棒在回路中的長度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流強度為I，根據牛頓第二定律有BIl=ma
又因為  I=

Bv

3r0

所以    

B2lv

3r0

=ma⑥
取一段很短的時間△t，導體棒在回路中的長度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可認為不變．
設在這段時間內導體棒速度的變化量大小為△v，回路所圍面積的變化量為△S．將⑥式左右兩邊同時乘以△t，可得

B2lv

3r0

△t=ma△t
則導體棒從O點開始運動到靜止的過程可表示為

B2l1v1

3r0

△t1+

B2l2v2

3r0

△t2+

B2l3v3

3r0

△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…
即     ∑

B2lnvn

3r0

△tn=∑man△tn
所以   

B2

3r0

∑lnvn△tn=m∑an△tn

B2

3r0

∑△Sn=m∑△vn
設導體棒最終靜止的位置距O點的距離為x₀，則

B2

3r0

x

2 0

tan30°=mv0⑦
由⑤⑦式可解得x0=

3 2 L

4

點評：本題為電磁感應與力和能綜合的好題，知道在運動過程中電流為一定值．第（3）問較難，導體棒與彈簧脫離后做變減速運動，需根據微分的思想結合牛頓第二定律去求導體棒最終靜止時的位置距O點的距離．