Question

如圖所示，是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂設(shè)施，軌道除AB部分粗糙（μ=0.125）外，其余均光滑，AB斜面與水平面夾角為37⁰．一挑戰(zhàn)者質(zhì)量為m=60kg，沿斜面軌道滑下，然后滑入第一個(gè)圓形軌道（軌道半徑R=2m），不計(jì)過B點(diǎn)時(shí)的能量損失，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，測(cè)試挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來．挑戰(zhàn)者到達(dá)C處時(shí)剛好對(duì)軌道無壓力，又經(jīng)過水平軌道滑入第二個(gè)圓形軌道（軌道半徑r=1.6m），然后從平臺(tái)上飛入水池內(nèi)，水面離軌道的距離為h=5m．g取10m/s²，人在運(yùn)動(dòng)全過程中可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）在第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)D處挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力大小．
（2）挑戰(zhàn)者若能完成上述過程，則他應(yīng)從離水平軌道多高的地方開始下滑．
（3）挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析：（1）由題，挑戰(zhàn)者到達(dá)C處時(shí)剛好對(duì)軌道無壓力，由重力提供向心力，求出C點(diǎn)的速度．由C到D的過程中，只有重力做功mg（2R-2r），根據(jù)動(dòng)能定理求出挑戰(zhàn)者到達(dá)D處的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解D處挑戰(zhàn)者對(duì)軌道的壓力大小．
（2）挑戰(zhàn)者從開始下滑到C點(diǎn)的過程中，重力做功mg（H-2R），摩擦力做功-μmgcos37°?

H

sin37°

，根據(jù)動(dòng)能定理求出高度H．
（3）挑戰(zhàn)者從C點(diǎn)到落水過程中，重力做功mg（2R+h），根據(jù)動(dòng)能定理求解挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度大小．研究B到C的過程求出B點(diǎn)的速度．挑戰(zhàn)者離開水平軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度等于B點(diǎn)的速度，由速度的分解可求解挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度．

解答：解：
（1）在C點(diǎn)無壓力則 mg=m

v 2 C

R

由C到D動(dòng)能定理得 
   mg（2R-2r）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

D點(diǎn)牛頓第二定律得 N+mg=m

v 2 D

r

聯(lián)立方程得 N=750N
由牛頓第三定律得到：人對(duì)軌道的壓力N′=750N
（2）挑戰(zhàn)者從開始下滑到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得
   mg（H-2R）-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-0
代入解得 H=6m
（3）挑戰(zhàn)者從C點(diǎn)到落水過程中，由動(dòng)能定理得
   mg（2R+h）=

1

2

mv2
代入解得  v=10

2

m/s
  B到C動(dòng)能定理得-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

得v_B=10m/s
挑戰(zhàn)者離開水平軌道后后做平拋運(yùn)動(dòng)．水平方向速度大小等于v_B不變．由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，挑戰(zhàn)者入水時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題是多過程問題，應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)要靈活選擇研究的過程．本題研究物體在斜面上運(yùn)動(dòng)的過程時(shí)，也可以采用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合的方法進(jìn)行處理．