Question

如圖所示，直角坐標系xOy所決定的平面內，在平行于y軸的虛線MN右側、y＞0的區域存在著沿y軸負方向的勻強電場；在y＜0的某區域存在方向垂直于坐標平面的圓形有界勻強磁場（圖中未畫出）．現有一電荷量為q、質量為m的帶正電粒子從虛線MN上的P處，以平行于x軸方向的初速度v₀射人電場，并恰好從原點O處射出，射出時速度方向與x軸成60°角，此后粒子先做勻速運動，然后進入磁場．粒子從圓形有界磁場中射出時，恰好位于√軸上Q（0，一l）處，且射出時速度方向沿x軸負方向，不計帶電粒子的重力．求：
（1）P、O兩點間的電勢差．
（2）勻強磁場的磁感應強度．
（3）圓形有界勻強磁場的最小面積．（結果用q、m、l、v₀表示）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子從P點射入電場做類平拋運動，將O點速度分解，根據動能定理求出P、O兩點間的電勢差U．
（2）粒子在y＜0的區域內的勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，磁場的磁感應強度為B．
由題意，粒子做圓周運動的圓心一定在y軸上，洛倫茲力提供向心力qvB=m

v2

R

，再根據幾何關系求出半徑R，代入可計算出B．
（3）當以粒子進入磁場的位置和射出磁場的位置的連線作為磁場的直徑時，磁場面積最小，由幾何關系知道得磁場面積最小時的半徑r=Rcos30°=

3

6

l．

解答：解：粒子在點場中做類平拋運動，有v=

v0

cos60°

=2v0
設P、Q兩點間電勢差為U，由動能定理有：
qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02               
解得：U=

3mv02

2q

                    
（2）粒子在y＜0的區域內運動的軌跡如圖所示．
設其在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為R，磁場的磁感應強度為B．
由題意，粒子做圓周運動的圓心一定在y軸上．
由牛頓第二定律qvB=m

v2

R

解得R=

mv

qB

由幾何知道得

R

sin30°

+R=l
解得R=

l

3

所以B=

6mv0

ql

（3）由題意，當以粒子進入磁場的位置和射出磁場的位置的連線作為磁場的直徑時，磁場面積最小   
設磁場的最小面積為S．
由幾何知道得磁場面積最小時的半徑r=Rcos30°=

3

6

l
解得最小面積為S=πr2=

πl2

12

．
答：（1）P、O兩點間的電勢差為

3mv02

2q

．
（2）勻強磁場的磁感應強度為

6mv0

ql

．
（3）圓形有界勻強磁場的最小面積為

πl2

12

．

點評：解決本題的關鍵知道粒子在勻強電場中做類平拋運動，進入磁場做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律、運動學公式以及幾何關系進行求解．