Question

（2013?天河區(qū)一模）如圖a，間距為d的平行金屬板MN與一對(duì)光滑的平行導(dǎo)軌相連，平行導(dǎo)軌間距L=

d

2

，一根導(dǎo)體棒ab以一定的初速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，棒的右端存在一個(gè)垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．棒進(jìn)入磁場(chǎng)的同時(shí)，粒子源P釋放一個(gè)初速度為零的帶電粒子，已知帶電粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子能從N板加速到M板，并從M板上的一個(gè)小孔穿出．在板的上方，有一個(gè)環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知外圓半徑為2d，內(nèi)圓半徑為d，兩圓的圓心與小孔重合（粒子重力不計(jì)）．

（1）判斷帶電粒子的正負(fù)，并求當(dāng)ab棒的速度為v₀時(shí)，粒子到達(dá)M板的速度v；
（2）若要求粒子不能從外圓邊界飛出，則ab棒運(yùn)動(dòng)速度v₀的取值范圍是多少？
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，為使粒子不從外圓飛出，可通過(guò)控制導(dǎo)軌區(qū)域磁場(chǎng)的寬度S（如圖b），則該磁場(chǎng)寬度S應(yīng)控制在多少范圍內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）由右手定則判斷ab棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向，分析M、N兩板的電性，即可判斷帶電粒子的電性；由公式E=BLv求出棒ab產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，MN板間電壓就等于此感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)動(dòng)能定理求粒子到達(dá)M板的速度v；
（2）要使粒子不從外邊界飛出，則粒子最大半徑時(shí)的軌跡與外圓相切，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑的最大半徑，由洛倫茲力充當(dāng)向心力，列式求出速度的最大值，即可得到速度的范圍；
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，粒子在磁場(chǎng)中軌跡半徑等于d，如果讓粒子在MN間一直加速，則必然會(huì)從外圓飛出，所以只能讓粒子在MN間只加速至最大速度（上題的結(jié)果）．研究粒子在電場(chǎng)加速過(guò)程，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速的時(shí)間，即可求出導(dǎo)軌區(qū)域磁場(chǎng)的寬度S．

解答：解：（1）根據(jù)右手定則知，a端為正極，故帶電粒子必須帶負(fù)電
ab棒切割磁感線，產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)U=B

d

2

v0
對(duì)于粒子，由動(dòng)能定理qU=

1

2

mv2-0 
得粒子射出電容器的速度為 v=

qBdv0 m

（2）要使粒子不從外邊界飛出，則粒子最大半徑時(shí)的軌跡與外圓相切，
由幾何關(guān)系有：（2d-r）²=r²+d²
得 r=

3

4

d
由洛侖茲力等于向心力，有：qv₀B=m

v 2 0

r

聯(lián)立得 v₀=

3qBd

4m

    
故ab棒的速度范圍：v₀≤

3qBd

4m

（3）因?yàn)?span id="bq8mfel" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

v

′ 0

=

qBd

m

＞v_m，故如果讓粒子在MN間一直加速，則必然會(huì)從外圓飛出，
所以只能讓粒子在MN間只加速至速度為 v=

qBdv0 m

=

3qBd

4m

，再勻速射出電容器則可．
而帶電粒子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，有
   a=

qU

md

=

q(Bv0′ d 2 )

md

將

v

′ 0

=

qBd

m

代入得：a=

q2B2d

2m2

  由v=

3qBd

4m

=at=

q2B2d

2m2

t    
得：t=

3m

2qB

對(duì)于棒ab：s=v₀′t=

3

2

d   
 故磁場(chǎng)的寬度應(yīng)：s≤

3

2

d
答：
（1）帶電粒子帶負(fù)電，當(dāng)ab棒的速度為v₀時(shí)，粒子到達(dá)M板的速度v是

qBdv0 m

；
（2）若要求粒子不能從外圓邊界飛出，則ab棒運(yùn)動(dòng)速度v₀的取值范圍是：v₀≤

3qBd

4m

．
（3）若棒ab的速度

v

′ 0

=

qBd

m

，為使粒子不從外圓飛出，可通過(guò)控制導(dǎo)軌區(qū)域磁場(chǎng)的寬度S（如圖b），則該磁場(chǎng)寬度S應(yīng)控制在

3

2

d之內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題是電場(chǎng)加速、磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)和電磁感應(yīng)的組合，根據(jù)動(dòng)能定理求加速獲得的速度，磁場(chǎng)中畫(huà)軌跡等等都常規(guī)方法，關(guān)鍵要抓住各個(gè)過(guò)程之間的內(nèi)在聯(lián)系．