Question

經過天文望遠鏡的長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識．雙星系統由兩個星體構成，其中每個星體的線度都遠小于兩星體之間的距離．一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統處理．現根據對某一雙星系統的光學測量確定，該雙星系統中每個星體的質量都是M，兩者間相距2L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動．已知引力常量為G，則：
（1）試計算該雙星系統的運動周期T；
（2）若實驗上觀測到運動周期為T′，為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種望遠鏡觀測不到的暗物質．作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著密度為ρ的暗物質，而不考慮其它暗物質的影響，并假定暗物質與星體間的相互作用同樣遵守萬有引力定律．試根據這一模型計算該雙星系統的運動周期T′．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，由暗物質對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，再由牛頓第二定律求解周期T′．

解答：解：
（1）以雙星系統中任一星球為研究對象，根據牛頓第二定律得
   G

M2

(2L)2

=M

4π2

T2

L
得到 T=4πL

L GM

（2）設暗物質的總質量為m，由牛頓第二定律得
     G

M2

(2L)2

+G

Mm

L2

=M

4π2L

T′2

又m=ρ?

4

3

πL3
代入解得
    T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

答：（1）該雙星系統的運動周期T=4πL

L GM

；
    （2）根據暗物質模型計算出該雙星系統的運動周期T′=4πL

3L G(3M+16πρL3)

．

點評：本題是雙星問題，要抓住雙星系統的條件：角速度與周期相同，運用牛頓第二定律采用隔離法進行研究．