Question

（1）M從釋放開始到第一次著地所用時間
（2）M第3次著地時系統損失的機械能與繩第3次繃直時系統損失的機械能之比
（3）M所走的全部路程（取三位有效數字）

Answer 1

（1）1s（2）△E₁：△E₂=4：1 （3）2.83m 

(1)從開始到M第一次著地，設著地速度為v₁的過程中，對系統：
由機械能守恒定律：MgH-mgH=(M+m)v₁²/2             ①……..（2分）
由動量定理得：   Mgt-mgt=(m+M)v₁                 ②……..（2分）
解得：           t=1s                              …………(1分)
(2)設第3次著地時的速度為v₃，此時系統損失的機械能△E₁即為M的動能
△E₁=Mv₃²/2                        ③……….(1分)
m上升后落回速度仍為v₃，繩繃直后達到共同速度v₃′，損失能量△E₂
繩繃直瞬間系統動量守恒，m的速度在M側等效向上，與M同向：
m v₃=(m+M) v₃′                    ④……….(2分)
△E₂=mv₃²/2-(m+M) v₃′²/2           ⑤………..(2分)
∴             △E₁：△E₂=4：1                     ………….(1分)
(3)設M第一次著地后被m帶著上升的高度為H₁，
m v₁=(m+M) v₁′                    ⑥……….(1分)
MgH₁-mgH₁=(M+m)v₁′²/2            ⑦……….(2分)
解方程①⑥⑦可得                   ……….(2分)
依此類推可得                      ……….(2分)
M所走的全部路程為 l=H+2H₁+2H₁+…2H_n=2.83m          ……….(2分)