Question

【題目】如圖所示，光滑水平面左側(cè)固定一豎直彈性擋板，右側(cè)固定一內(nèi)壁光滑的豎直圓形軌道，軌道下端與地面相切于d點(diǎn)，且切點(diǎn)處略微錯開．水平軌道上a、b、c、d間的距離ab=bc=cd，P、Q兩物體之間壓縮一段輕彈簧（兩物體未與彈簧兩端連接），并通過一細(xì)線約束，靜止在b、c兩點(diǎn)，此時彈簧儲存的彈性勢能為Ep=10J．現(xiàn)剪斷細(xì)線，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時立即撤走彈簧，當(dāng)Q首次運(yùn)動到d點(diǎn)時，P恰好追上Q，并與之發(fā)生碰撞，碰后粘在一起，接著進(jìn)入豎直平面的圓軌道．已知P的質(zhì)量mP=1 kg，P、Q兩物體均可以視為質(zhì)點(diǎn)，不計P與左側(cè)豎直擋板碰撞的時間，P到達(dá)a前與Q到達(dá)d前彈簧已恢復(fù)原長．求：

（1）物體Q的質(zhì)量；

（2）若P、Q兩物體碰后在圓形軌道內(nèi)運(yùn)動時不脫離軌道，軌道半徑應(yīng)該滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）4kg（2）R≥0.128m或R≤0.0512m

【解析】試題分析：釋放彈簧過程系統(tǒng)動量守恒，彈簧恢復(fù)原長后兩物體均做勻速直線運(yùn)動，應(yīng)用動量守恒定律求出物體Q的質(zhì)量．由動量守恒定律與能量守恒定律求出P、Q的速度，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求出PQ不脫離圓軌道的臨界半徑，然后答題．

試題分析：（1）釋放彈簧過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得： ，則，
兩物體運(yùn)動時間t相等，則，即，
彈簧恢復(fù)原長后兩物體均做勻速直線運(yùn)動，運(yùn)動時間相等，則： ，
從剪斷細(xì)線到P追上Q過程， ，由題意可知： ，
則： ，解得；
（2）釋放彈簧過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得： ，
由機(jī)械能守恒定律得： ，解得，
P、Q碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得，解得： ；
①PQ恰好到達(dá)與O點(diǎn)等高處，由機(jī)械能守恒定律得： ，

解得：R=0.128m，要使P、Q不脫離軌道： ；
②P、Q恰好能夠通過圓形軌道最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)，
由動能定理得，
從圓形軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，由機(jī)械化守恒定律得： ，

解得： ，
PQ不脫離圓軌道： ；

綜上所述若P、Q兩物體碰后在圓形軌道內(nèi)運(yùn)動時不脫離軌道，軌道半徑應(yīng)該滿足的條件是或．