Question

如圖所示，半徑為r、圓心為O₁的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)右側(cè)有一豎直放置的平行金屬板M和N，兩板間距離為L(zhǎng)，在MN板中央各有一個(gè)小孔O₂、O₃、O₁、O₂、O₃在同一水平直線上，與平行金屬板相接的是兩條豎直放置間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)體棒PQ與導(dǎo)軌接觸良好，與阻值為R的電陰形成閉合回路（導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)），該回路處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，整個(gè)裝置處在真空室中，有一束電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子流（重力不計(jì)），以速率v₀從圓形磁場(chǎng)邊界上的最低點(diǎn)E沿半徑方向射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，最后從小孔O₃射出．現(xiàn)釋放導(dǎo)體棒PQ，其下滑h后開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，此后粒子恰好不能從O₃射出，而從圓形磁場(chǎng)的最高點(diǎn)F射出．求：
（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′．
（2）導(dǎo)體棒的質(zhì)量M．
（3）棒下落h的整個(gè)過(guò)程中，電阻上產(chǎn)生的電熱．

Answer 1

分析：（1）粒子從E射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域，從小孔O₃射出，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出半徑，再由牛頓第二定律求出B．
（2）粒子恰好不能從O₃射出時(shí)，到達(dá)O₃速度為零．根據(jù)能量守恒定律求出此時(shí)板間電壓．對(duì)導(dǎo)體棒，由平衡條件求出質(zhì)量M．
（3）由于棒的電阻不計(jì)，導(dǎo)體棒兩端的電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．根據(jù)E=BLv公式，求出棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，由能量守恒定律求得電阻上產(chǎn)生的電熱．

解答：解：（1）在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，由于粒子轉(zhuǎn)過(guò)

1

4

圓周，所以軌跡半徑等于圓形區(qū)域的半徑r．
由牛頓第二定律得
   qv 0B′=m?

v 2 0

r

得 B′=

m v   0

qr

（2）根據(jù)題意粒子恰好不能從O₃射出時(shí)到達(dá)O₃速度為零．則由能量守恒定律得
  

1

2

m

v

2 0

=qUPQ
PQ做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有 Mg=B?

U

R

?L
由③④得M=

BLm

2gqR

v

2 0

（3）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度大小為V_m，U_PQ=BLv_m
代入③中得：V m=

m v 2 0

2qBL

由能量守恒：QR=Mgh-

1

2

M

V

2 m

解得QR=

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

答：
（1）圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′為

mv0

qr

．
（2）導(dǎo)體棒的質(zhì)量M為

BLm

2gqR

v

2 0

．
（3）棒下落h的整個(gè)過(guò)程中，電阻上產(chǎn)生的電熱為

BLmh

2qR

v

2 0

-

m3 v 6 0

16gBLRq3

．

點(diǎn)評(píng)：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是確定軌跡半徑；導(dǎo)體棒導(dǎo)體切割類型，是電磁感應(yīng)、電路與力學(xué)知識(shí)的綜合，從力和能兩個(gè)角度研究．