Question

（2010?上海）如圖，三個質點a、b、c質量分別為m₁、m₂、M（M?m₁，M?m₂），在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑之比為r_a：r_b=1：4，則它們的周期之比T_a：T_b=

1：8

，從圖示位置開始，在b轉動一周的過程中，a、b、c共線有

14

次．

Answer 1

分析：質點a、b均在c點的萬有引力的作用下繞c做圓周運動，由F_引=F_向，可求出周期比，每多轉半圈，三質點共線一次，可先求出多轉半圈的時間，與總時間相比，得出三點共線次數．

解答：解：萬有引力提供向心力，則有：G

Mm1

r 2 b

=m1ra

4π2

T 2 a

，G

Mm2

r 2 b

=m2rb

4π2

T 2 b

；
所以T_a：T_b=1：8；
設每隔時間t，a、b共線一次，則（ω_a-ω_b）t=π，所以t=

π

ωa-ωb

；
故b運動一周的過程中，a、b、c共線的次數為：n=

Tb

t

=

Tb(ωa-ωb)

π

=Tb(

2

Ta

-

2

TB

) =

2Tb

Ta

-2=14．
故答案為：1：8，14．

點評：本題根據向心力來源列式，即可求出周期之比；第二問中，可以以質點b、c系統為參考系，則a質點轉動7圈，共線14次．