Question

如圖所示，在xoy坐標系中分布著四個有界場區，在第三象限的AC左下方存在垂直紙面向里的勻強磁場B₁=0.5T，AC是直線y = －x－0.425（單位：m）。在第三象限的部分，另一沿y軸負向的勻強電場左下邊界也為線段AC的一部分，右邊界為y軸，上邊界是滿足y= －10x²－x－0.025（單位：m）的拋物線的一部分，電場強度E=2.5N/C。在第二象限有一半徑為r=0.1m的圓形磁場區域，磁感應強度B₂=1T，方向垂直紙面向里，該區域同時與x軸、y軸相切，切點分別為D、F，在第一象限的整個空間存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B₃=1T，另有一厚度不計的擋板PQ垂直紙面放置，其下端坐標P（0.1m,0.1m），上端Q在y軸上，且

∠PQF=30°現有大量m=1×10^-6kg，q= －2×10^-4C的粒子（重力不計）同時從A點沿x軸負向以v₀射入，且v₀取0<v₀<20m/s之間的一系列連續值，并假設任一速度的粒子數占入射粒子總數的比例相同。

　 （1）求所有粒子從第三象限穿越x軸時的速度；

　 （2）設從A點發出的粒子總數為N，求最終打在擋板PQ右側的粒子數N'．

Answer 1

解：

   （1）設某速度為的粒子從A點入射后到達AC上的G點，因與AC成45⁰角，其對應圓心角為90⁰，即恰好經過四分之一圓周，故到達G點時速度仍為，方向沿Y軸正向.----------------(２分)

   粒子在電場中沿Y軸正向加速運動，設G點坐標為G（x，y），剛好穿出電場時坐標為（x，），粒子穿出電場時速度為，在電場中運動的過程中，由動能定理得：

---------------------------------------------------------------- (2分)

而        

又---------------------------------------------------------------------------(2分)

代入數據解得，可見粒子穿出電場時速度大小與x無關。---------(3分) 

因，由

代入數據得：----------------------------------------------------------------------(1分)

由數學知識可知，k點坐標為k(-0.2m，-0.225m)，故從A點射出的所有粒子均從AK之間以20m/s的速度沿Y軸正向射出電場，在到達X軸之前粒子作勻速直線運動，故所有粒子從第三象限穿越X軸時的速度大小均為20m/s的速度沿Y軸正向。---------------------------------------------------(1分)

   （2）因為，故離子束射入時，離子束寬度剛好與2相等，設粒子在中運動軌道半徑為

，解得=---------------------------------------------------(１分)

考察從任一點J進入的粒子，設從H穿出磁場，四邊形為菱形，又因為 水平，而，故H應與F重合，即所有粒子經過后全部從F點離開進入磁場。對趨于的粒子，圓心角∠，故射入時速度趨于Ｙ軸負向；對趨于０的粒子，圓心角∠，故射入時速度趨于Ｙ軸正向，即進入的所有粒子速度與Y軸正向夾角在0~180⁰之間。-----------------------(４分)

由于=，所以，由幾何關系知：

無限靠近Y軸負向射入的粒子軌跡如圖所示，最終打在PQ板的右側；--- -----(1分）

與Y軸負向成60⁰角的粒子剛好經過P點到達Q點;------------------------- ----------- -(1分）

因此與Y軸正向在0~120⁰之間從F點射出的粒子要么打在PQ板的左側，要么打不到板上而穿越Y軸離開。由于是“大量”粒子，忽略打在P或Q的臨界情況，所以最終打在擋板PQ右側的粒子數

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